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例题讲解 例1 在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE 分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC. 证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形 ∴AB=AE,AG=AC ∠BAE=∠CAG=90° ∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC 即∠BAG=∠EAC ∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE 图2 说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。 巩固练习 巩固练习题目可有教师根据学生情况自主选择。 讲解新课 师：正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形，那么根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系，怎么判定一个矩形是正方形? 生：证一组邻边相等。 师：怎么判定一个菱形是正方形? 生：证有一个角是直角。 师：怎么判定一个平行四边形是正方形? 生：根据定义，证有一组邻边相等且有一个角是直角。 师：那么，刚才的结论如果用图来表示，是不是如图3所示? 师：图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的，但似乎有缺憾，能不能同样根据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全? [学生活动：积极思考，部分学生疑惑不解。] 师点取上等学生回答问题，根据回答得图4。 生恍然大悟。 学生思路得到启发，中上等及上等学生意犹未尽，鼓励他们根据矩形、菱形的判定方法直接得到正方形的判定思路，并要求其举出简单示例。 就势跟进，要求学生思考，给定四边形，有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?要求给出简单图例，并说出相应证明思路。 为进一步理解正方形的判定方法，可研究以下几个问题： (3)对角线相等的菱形是正方形吗? (4)对角线互相垂直的矩形是正方形吗? (5)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形吗?若不是，还需增加什么条件? (6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?” (7)四个角都相等的四边形是正方形吗? 小结：证明正方形的思路，总体讲三种思路，如图4所示;遇到具体条件要学会具体分析，规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线，或者把他们搅和在一起。这是一定要都要冷静，学会去分析。 动画演示： 场景六：正方形的判定 F例题讲解 例2 如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、AB的中点，DE、CF相交于M， 求证：AD=AM。 分析：欲证AD=AM，只需证明∠1=∠2，但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难，考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得：△BCF≌△CDF，得∠3=∠4，而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF，这是要证AD=AM，是否想到与直角有关的等腰三角形?只需延长CF、DA交于N，即可出现直角三角形MND，只要证明A是ND中点即可。这是是否发现△BCF≌△ANF?由AN=BC=AD，从而A是ND中点，MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。 证明：略。 说明：将此题中的中点E、F进行变化：E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点，且BE=AF，则有DE⊥CF。这个变化后的图形在正方形中常常出现，要注意隐含的这个垂直条件。 课堂练习题及课后作业可由教师根据学生情况自主选择。 (责任编辑：admin) |