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第二十六章 二次函数 江苏省赣榆县沙河中学 张庆华 【课标要求】
【知识梳理】 1.定义：一般地，如果  是常数， ，那么 叫做 的二次函数.2.二次函数  用配方法可化成： 的形式，其中 .3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①  的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地，轴记作直线 .4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：  ，∴顶点是 ，对称轴是直线 .（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线 中， 的作用（1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的完全一样.（2）  和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：① 时，对称轴为轴；② （即、同号）时，对称轴在轴左侧；③ （即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）  的大小决定抛物线与轴交点的位置.当 时， ，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：① ，抛物线经过原点; ② ,与轴交于正半轴；③ ,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .7.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： .已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： .12.直线与抛物线的交点 （1） 轴与抛物线得交点为(0, ).（2）与 轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(, ).（3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点   抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与轴相切；③没有交点  抛物线与轴相离.（4）平行于 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.（5）一次函数  的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组  的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为 ，由于、是方程的两个根，故  【能力训练】 1．二次函数y=－x2＋6x－5，当 时，  ，且随的增大而减小。2.抛物线  的顶点坐标在第三象限，则 的值为（ ）A．  B． C． D． ．3．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（ ） A．x =2 B．x =－2 C．x =－1 D．x =1 4． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ） A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5 5．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（ ）  6．二次函数  的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的大小关系是（ ） A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0 7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s 8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（ ） A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2） 9．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A．这两个函数图象有相同的对称轴 B．这两个函数图象的开口方向相反 C．方程－x2+k=0没有实数根 D．二次函数y=－x2＋k的最大值为 10．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（ ） A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2 12．已知二次函数 的图象如图所示，则在“① a＜0，②b＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（ ） A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④ 13．已知二次函数 (a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（ ） A．l个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）  A．最大值1 B．最小值－3 C．最大值－3 D．最小值1 15．用列表法画二次函数 的图象时先列一个表，当表中对自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ）A．506 B．380 C．274 D．182 16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________ 17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________ 18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__ _________________（只要求写一个）． 19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________． 20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点， （1） 求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。 （2） 若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。 22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量 （件）与每件的销售价（元）满足一次函数y=162－3x；（1）写出商场每天的销售利润  （元）与每件的销售价（元）的函数关系式；（2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润为多少？ 23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．   根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米， （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥  千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时 米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD处），当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？ 25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y＝x2－(b＋10)x＋c. ⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式； ⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y＝－2x＋b的解析式. 26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中xl<x2． (1)求m的取值范围； (2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；  27．如图，等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=2. （1）求点B的坐标； （2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P，使得S△PBD=S梯形ABCD。若存在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.  28．数学活动小组接受学校的一项任务：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为6０米的木栅栏围成一块生物园地，请设计一个方案使生物园的面积尽可能大。 (1)活动小组提交如图的方案。设靠墙的一边长为 x 米，则不靠墙的一边长为(60－2x)米，面积y= (60－2x) x米2．当x=15时，y最大值 =450米2。 (2)机灵的小明想：如果改变生物园的形状，围成的面积会更大吗？请你帮小明设计两个方案，要求画出图形，算出面积大小；并找出面积最大的方案．  
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