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用好一次函数图象上的关键点 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 一次函数图象与坐标轴的交点，两个一次函数图象之间的交点，常常是求解一次函数问题的关键点。理解这些点的坐标的几何意义，用好这些点的坐标，是解决一次函数问题的重要方法。一次函数y=kx+b，与x轴的交点为（－  ，0），与y轴的交点为（0，b），一次函数y1=k1+b1与y2=k2+b2的交点坐标为方程组 的解。1.一次函数图象与x轴的交点 由一次函数与一元一次方程（不等式）的关系，函数图象与x轴交点的横坐标即为对应方程的解；反之，方程的解即为函数图象与x轴交点坐标。一图象与x轴交点（即方程的解）为分界，函数图象在x轴的上方和下方的部分分别表示y＞0或y＜0。 例1．已知函数图象过点（4，1）和点（－2，4），求函数的解析式，并画出图象。当x为何值时，y＞0，y=0，y＜0？  解析：由函数图象观察函数值y＞0，y=0，y＜0，关键是看函数图象与x轴的位置关系，而函数图象与x轴的交点则是函数值正负的分界点。 设函数解析式y=kx+b，过点（4，1）和点（－2，4），  解得 ∴y=－ x+3 图象如图。图象与x轴交点为（6，0）由图象可看出： x=6时，y=0；x＜6时，y＞0；x＞0，y＜0。 2.一次函数图象与y轴的交点 一次函数图象与y轴的交点位置决定b的正负。与y轴正半轴相交，b＞0；与y轴负半轴相交，b＜0。  例2．已知一次函数y=kx+b+6与一次函数y=－kx+b+2的图象的交点为（2，0），求这两个一次函数解析式及两直线与y轴围成的三角形的面积。 解析：两个一次函数的交点为（2，0） ∴  解得 ∴解析式分别为y=x-2；y=－x+2 两条直线与y轴的交点坐标分别为（0，－2），（0，2）。如图。 围成的三角形面积为 ×4×2=4。3.两个函数图象的交点 两个函数图象的交点，一方面可利用坐标的几何意义求面积，另一方面还是比较两个函数函数值大小（或不等式）的分界点。 例3．直线L1：y=k1x+b与直线L2：y=k2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示。  则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解集为： A．x＞－1； B．x＜－1； C．x＜－2； D．无法确定 解析：两个函数图象的位置关系决定函数值的大小关系。函数图象位于上方的函数，同一个自变量对应的函数值大于函数图象位于下方的函数值。要使k1x+b＞k2x，即直线L1：y=k1x+b的图象必须位于直线L2：y=k2x的上方时成立。 故由函数图象可知：x＜－1时，k1x+b＞k2x。 4.两个函数图象交点的综合运用  例4．如图，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）。根据图象回答下列问题： ⑴求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ ⑵求这次比赛全程是多少千米？ ⑶求比赛开始多少分钟，两人第二次相遇？ 解析：图中甲的图象由三段线段OA、AB、BC组成，是一个分段函数；乙的图象为线段OD，是一个正比例函数。两人第一次相遇，即函数图象第一次相交，在线段AB上；第二次相遇，即在线段BC上相交处。设第一次相交交点为M，第二次相交交点为N。交点横坐标即为相遇时间。 ⑴设AB所在直线解析式为y=kx+b， 则   ∴y= x+ 当y=6时，x=24，即第24分钟时第一次相遇。⑵由M（24，6）在线段OD上，设OD所在直线解析式为y=kx，24k=6，k=  ，y=x，当X=48时，y=12 所以全程为12千米。⑶由⑵知C（43，12），设BC所在直线y=kx+b，有  ，解得 ，BC所在直线为y=x－ 。由  ，解得：x=38，即第38分钟两人第二次相遇。作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《小博士报》、《少年智力开发报》等报刊发表教学辅导类文章60多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑：admin) |