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倍角三角形中的一个结论 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 例1（天津市中考题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对应的边分别用a、b、c表示。 ⑴如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°。求证：a2=b（b+c） ⑵如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC，如图2，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）是否仍然成立？并证明你的结论。  分析：⑴在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°，△ABC为Rt△，∠C=90°。 证法1：Rt△ACB中a=  c，b= c，所以a2=（ c）2= ，b（b+c）=c（c+c）=，所以a2=b（b+c）。 ⑵对于任意的倍角△ABC，∠A=2∠B，关系式a2=b（b+c）仍然成立。 如图2，延长BA至D，使AD=AC=b，连CD。 则∠CAB=2∠D，∴∠B=∠D，BC=CD=a， 由△ADC∽△CDB  ，即 。所以a2=b（b+c）。 由以上的证明，可以得到关于倍角三角形的一个结论：一个三角形中有一个角等于另一个角的两倍，2倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘该边与第三边的和。 （例2中另外两种证法同样可证得a2=b（b+c）。） 例2(2009年全国初中数学联赛)在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8。则BC=（ ） （A）7  （B）10 （C） （D）7 分析：此题由例1中的结论，则BC2=7（7+8）=105，所以BC= 。以下还可以提供几种解法供参考。 解法一：分割法。 如图1，作∠CAB的平分线AD交BC于D。  △ABC∽△DBA，  = = ，∴  解得 ∴ x+y=。评析：解法一的思路是常规思路，平分倍角构造相似三角形，通过相似比得到方程组求出线段长，进而求出BC的长。但这种方法中，二元二次方程组的计算较为复杂。 解法二：构造法。 如图2，延长CA至点D，使AD=AB。  则∠D=∠ABD= ∠CAB=∠C，△CBD∽△DAB，  = ，∴BD2=AB·CD=7×（8+7）=105，BD= ，又∠C=∠D，∴BC=BD= 。评析：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧。BD为相似三角形比例中项，与方法一相比，计算相对简单。 解法三：综合法 作∠CAB的平分线AD交BC于D。作BE∥AD。  △ADC∽△BAE，  = ，①△ADC∽△EBC，  = ，②①×②，  = ，（x+y）2=7×15，x+y=。解析：由△ADC∽△BAE，BE∥AD，方法三事实上已将方法一、方法二统一了起来。所反映的本质是相同的。 (责任编辑：admin) |