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拿破仑定理的特例 安徽来安县相官职中 徐长海 拿破仑是法兰西第一帝国的皇帝（1804-1814年在位），他不仅是军事家、政治家，而且还非常喜欢研究数学，他发现了以下著名的定理： 拿破仑定理若在任意三角形的各边向外（内）作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。 该定理的证明，对于我们初中同学来说颇有难度，本文将其弱化为特例，以便我们初中同学证明。 如图，C为线段AB上一点，△ACE、△BCF、△ABD是正三角形，  、 、 分别是它们的中心。求证： 是正三角形。 证明延长AE、BF交于D′，连结  、 、 、 ，延长 、交于。则是正△ABD′的中心，由对称性知，四边形 是菱形。连结 ，由题意知， 故 是正三角形。设AC=a,BC=b，则可算得： 故  ，则可证得： ，因而 ，故△O1O2O3是正三角形。从上面特例中，同学们应知道很多数字问题就是从特殊到一般，再由一般到特殊的这样转化。即将特殊问题一般化，对一般化问题可以特殊化后研究，希望同学们注意这种思想方法。 选自《中学生数学》期刊2001年11月下 完全数的自白 （福建晋江市内坑中学）姚金红 我叫做“完全数”，是“自然数家族”中忠实的一员，我的真因子之和“完完全全”地等于我。6是“完全数族”中的“小妹妹”，她是唯一的一位完全数。你看，她的真因子1、2、3具有1+2+3=6这种完全数所具有的特征。比起孙大圣，我毫不逊色，摇身一变，面目全非，等会儿听我慢慢道来。 我也有难言之隐，就是我的家族“人丁”不旺。二位的完全数只有28，三位的完全数只有496，四位的完全数只有8128。古希腊数学家欧几里德是我最真诚的朋友，早在公元前300年在他的《几何原本》中就为我们设计了“完全数公式”：“如果 本家族个个本领非凡，猪八戒的“三十六变”，孙悟空的“七十二变”，在我们看来，也不过小戏法而已。你看，我们都变成一些连续自然数的和。 6=1+2+3； 28=1+2+3+4+5+67； 496=1+2+3+...+31; 8128=1+2+3+...+127； ...... 你瞧，我们又变成2的一些连续自然数次幂之和： 再看，我们又变成从1开始的边疆奇数的三次方和： 同学们可别以为我们的本领只有这些，再露一手，让你见识见识；本家族的每一个同胞，它的所有因子的倒数之和都等于2； 同学们，你说我奇不奇，美不美？ 选自《中学生数学》2001年12月下 华罗庚的退步解题方法 (江苏省盐城市城区永丰中学)费克翔 我国已故著名的数学家华罗庚爷爷出生在一个摆杂货店的家庭，从小体弱多病，但他凭借自己一股坚强的毅力和崇高的追求，终于成为一代数学宗师。 少年时期的华罗庚就特别爱好数学，但数学成绩并不突出。19岁那年，一篇出色的文章惊动了当时著名的数学家熊庆来。从此在熊庆来先生的引导下，走上了研究数学的道路。晚年为了国家经济建设，把纯粹数学推广应用到工农业生产中，为祖国建设事业奋斗终生！ 华爷爷悉心栽培年轻一代，让青年数学家茁壮成儿使他们脱颖而出，工作之余还不忘给青多年朋友写一些科普读物。下面就是华罗庚爷爷曾经介绍给同学们的一个有趣的数学游戏： 有位老师，想辨别他的3个学生谁更聪明。他采用如下的方法：事先准备好3顶白帽子，2顶黑帽子，让他们看到，然后，叫他们闭上眼睛，分别给戴上帽子，藏起剩下的2顶帽子，最后，叫他们睁开眼，看着别人的帽子，说出自己所戴帽子的颜色。 3个学生互相看了看，都踌躇了一会，并异口同声地说出自己戴的是白帽子。 聪明的小读者，想想看，他们是怎么知道帽子颜色的呢？“ 为了解决上面的伺题，我们先考虑“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题。因为，黑帽只有1顶，我戴了，对方立刻会说自己戴的是白帽。但他踌躇了一会，可见我戴的是白帽。 这样，“3人2顶黑帽，3顶白帽”的问题也就容易解决了。假设我戴的是黑帽子，则他们2人就变成“2人1顶黑帽，2顶白帽”问题，他们可以立刻回答出来，但他们都踌躇了一会，这就说明，我戴的是白帽子，3人经过同样的思考，于是，都推出自己戴的是白帽子。 看到这里。同学们可能会拍手称妙吧。后来，华爷爷还将原来的问题复杂化，“n个人，n-1顶黑帽子，若干（不少于n）顶白帽子”的问题怎样解决呢？运用同样的方法，便可迎刃而解。他并告诫我们：复杂的问题要善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窃。 选自《中学生数学》期刊2001年8月下 (责任编辑：admin) |