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对称变换应用三例 湖北省安陆洑水初中 王官清 秦加强 轴对称变换是研究一些几何证明和作图的重要方法。在实际生活中应用比较广泛，往往结合转化的思想、化归的思想把实际问题转化为几何问题，构建几何作图的模型，使问题得到解决，生动有趣。下面通过三个例题谈谈轴对称及轴对称变换的应用。 一、猫捉老鼠，不是冤家不聚头 例1 在墙角O有一个老鼠洞，小猫咪咪在A处发现自己的冤家老鼠在B处正往洞口方向逃窜，咪咪想，这次再不让你跑掉。若小猫咪咪与老鼠的速度相同，你能确定小猫咪咪抓住老鼠的位置吗？   分析：老鼠从B处沿墙边向洞口O逃窜，猫在老鼠逃窜的途中准确截击，截击点P应该在线段OB上。因为老鼠和小猫的速度相同，在时间相同的情况下，小猫和老鼠跑的路程相等，即PA=PB.所以截击老鼠的点P在AB的对称轴（垂直平分线）上，从而可以确定小猫咪咪抓住老鼠的位置。 如图1-1，作点A、B的对称轴（就是线段AB的垂直平分线），交OB于P，点P就是小猫咪咪抓住老鼠的位置。 二、台球桌上，该出手时就出手 例2. 如图2，在矩形ABCD的台球桌上有三个彩球E、F、P，且E、F、P在同一条直线上，现在要求主球P在不撞击其他彩球的情况下击中F（不能够跳过E击F），问能否击中F？若不能，请说明理由；若能击中F，请画出主球P的运动路线.  分析：主球P撞击台球桌边反弹，和光线在平面镜上反射的规律相同。如图2-1，假设主球P射到边AD上的M，再反弹到球F，则点F关于AD的对称点  和M、P在一条直线上。作法：作点F关于AD的对称点 ，连接P，交AD于M，连接MF。主球P的运动路线是P——M——F。当然，也可以作出点P关于AD的对称点  ，连接 交AD于M。类似地，我们如果分别以BC、AB、DC为对称轴来作对称点，还可以在BC、AB、DC边上找到瞄准的点M来击球P，如图3-2，2-3，2-4.  三、饮马牧马，敢问路在何方？ 例3 A处为马厩，B处为帐蓬，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN某一处牧马，再到河边  饮马，然后回到帐蓬.请你帮他确定这一天的最短路线。  分析：假设牧马人先到草地边的P处牧马，然后去河边Q饮马，最后回到帐篷B，行走的路线就是A——P——Q——B，这是一条折线，不易考虑最短问题。把它们转化到一条直线上考虑，利用两点之间线段最短来考虑作图。转化的方法就是利用轴对称的性质作点A关于MN的对称点  和作点B关于直线（河边）的对称点 .作法： （1）关于MN的对称点 和作点B关于直线（河边）的对称点.（2）连接  ，交MN于P，交于Q.则这一天牧马饮马的最短路线是A——P——Q——B.如图3-1.点评；利用轴对称变换作对称点，是我们研究“最短路线”的常用方法。有利于把折线转化到同一直线上研究。 (责任编辑：admin) |