初中学习网-初中学习方法、解题技巧、知识点总结、学习计划、同步辅导资料!

初中学习网-人民教育出版社人教版部编同步解析与测评答案-电子课本资料下载-知识点总结学习方法与技巧补课解题技巧学习计划表-初中试卷网-中学学科网

2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

http://www.newdu.com 2018-12-06 人民教育出版社 佚名 参加讨论

    2010年全国初中数学竞赛试题参考答案
    一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里不填、多填或错填都得0分)
    1.若,则的值为(    ).
    (A)        (B)       (C)       (D)
    解:    由题设得
    代数式变形,同除b
    2.若实数ab满足,则a的取值范围是(     ).
    (A)a    (B)a4    (C)a a≥4   (D)a≤4
    .C
    因为b是实数,所以关于b的一元二次方程
    的判别式   ≥0,解得a a≥4.
    方程思想,判别式定理;要解一元二次不等式
    3.如图,在四边形ABCD中,∠B=135°,∠C=120°,AB=BC=CD,则AD边的长为(   ).
    (A)          (B)
    (C)        (D)
    
    解:D
    如图,过点AD分别作AEDF垂直于直线BC,垂足分别为EF
    由已知可得
    BE=AE=CFDF=2
    于是 EF=4+
    过点AAGDF,垂足为G.在Rt△ADG中,根据勾股定理得
    AD
    勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法
    
    4.在一列数……中,已知,且当k≥2时,
    (取整符号表示不超过实数的最大整数,例如),则等于(    ).
    (A) 1          (B) 2           (C) 3            (D) 4
    解:B
    由可得
    
    
    ……
    因为2010=4×502+2,所以=2.
    高斯函数;找规律。
    

    5.如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,-1),C(-2,-1),D(-1,1)y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1P2,…, 则点P2010的坐标是(    ).                  
    (A)(2010,2) (B)(2010,
    (C)(2012,)  (D)(0,2)
    
    解:B由已知可以得到,点的坐标分别为(2,0),(2,).
    记,其中
    根据对称关系,依次可以求得:
    
    令,同样可以求得,点的坐标为(),即),
    由于2010=4502+2,所以点的坐标为(2010,).
    二、填空题
    6.已知a-1,则2a3+7a2-2a-12 的值等于             
     解:0
     由已知得 (a+1)2=5,所以a2+2a=4,于是
    2a3+7a2-2a-12=2a3+4a2+3a2-2a-12=3a2+6a-12=0.
    7一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶.在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间.过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过t分钟,货车追上了客车,则t            
    解:15
    设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意得
    ,               ①
    ,              ②       .               ③
    由①②,得,所以,x=30.       故 (分).
    8.如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是             
    
    解:
    如图,延长BCx轴于点F;连接OBAFCEDF,且相交于点N
    由已知得点M(2,3)是OBAF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分.又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以,
    过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分.
    于是,直线即为所求的直线
    设直线的函数表达式为,则
    
    解得 ,故所求直线的函数表达式为
    

    9.如图,射线AMBN都垂直于线段AB,点EAM上一点,过点ABE的垂线AC分别交BEBN于点FC,过点CAM的垂线CD,垂足为D.若CDCF,则         . 
    
    解:
    见题图,设
    因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以
    又因为 FCDCAB,所以 即     
    解得,或(舍去).
    又Rt△∽Rt△,所以,  即=
    10对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i-1.若的最小值满足,则正整数的最小值为             
    解:      因为的倍数,所以的最小值满足
    
    其中表示的最小公倍数.
    由于
    
    因此满足的正整数的最小值为
    三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
    11.如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BECF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证:

    (第12A题)
    
 

    

    (第12B题)
    
 

    

    (第12B题)
    
 
证明:如图,连接EDFD. 因为BECF都是直径,所以
    EDBC,   FDBC
    因此DEF三点共线.   …………(5分)
    连接AEAF,则
    
    所以,△ABC∽△AEF.    …………(10分)
    作AHEF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
    
    
    从而                         ,        
    所以                         .     …………(20分)
    12.如图,抛物线a0)与双曲线相交于点AB. 已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为坐标原点).
    (1)求实数abk的值;
    (2)过抛物线上点A作直线ACx轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.
    
    解:(1)因为点A(1,4)在双曲线上,
    所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.
    设点Bt),AB所在直线的函数表达式为,则有
        解得.
    于是,直线ABy轴的交点坐标为,故
    ,整理得
    解得,或t(舍去).所以点B的坐标为().
    因为点AB都在抛物线a0)上,所以解得   …………(10分)
    
    (2)如图,因为ACx轴,所以C,4),于是CO=4. 又BO=2,所以.
    设抛物线a0)与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为(,0).
    因为∠COD=∠BOD,所以∠COB=.
    (i)将△绕点O顺时针旋转,得到△.这时,点(,2)是CO的中点,点的坐标为(4,).
    延长到点,使得=,这时点(8,)是符合条件的点.
    (ii)作△关于x轴的对称图形△,得到点(1,);延长到点,使得,这时点E(2,)是符合条件的点.
    所以,点的坐标是(8,),或(2,).         …………(20分)
    

     13.求满足的所有素数p和正整数m.
    .解:由题设得
    所以,由于p是素数,故,或.  ……(5分)
    (1)若,令k是正整数,于是
    
    故,从而.
    所以解得            …………(10分)
    (2)若,令k是正整数.
    当时,有
    
    故,从而,或2.
    由于是奇数,所以,从而.
    于是
    这不可能.
    当时,;当,无正整数解;当时,,无正整数解.
    综上所述,所求素数p=5,正整数m=9.                 …………(20分)
    14.从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
    解:首先,如下61个数:11,,…,(即1991)满足题设条件.                               …………(5分)
    另一方面,设是从1,2,…,2010中取出的满足题设条件的数,对于这n个数中的任意4个数,因为
    ,  
    所以                        .
    因此,所取的数中任意两数之差都是33的倍数.        …………(10分)
    设i=1,2,3,…,n.
    由,得
    所以,即≥11.                 …………(15分)
    
    故≤60. 所以,n≤61.
    综上所述,n的最大值为61.                        …………(20分)
    (64至91为荆州市全国三等奖至一等奖) (责任编辑:admin)
织梦二维码生成器
顶一下
(0)
0%
踩一下
(0)
0%
------分隔线----------------------------
初中语文
初中数学
初中英语
初中物理
初中化学
初中生物
初中历史
初中地理
初中道德与法治
初中历史与社会
初中日语、俄语
学习方法
初中竞赛