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2010年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若  ，则 的值为（ ）．（A）  （B） （C） （D） 解：  由题设得 ．代数式变形，同除b 2．若实数a，b满足  ，则a的取值范围是（ ）．（A）a   （B）a 4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4解．C 因为b是实数，所以关于b的一元二次方程  的判别式  ≥0,解得a≤或 a≥4．方程思想，判别式定理；要解一元二次不等式 3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=  ，BC= ，CD＝ ，则AD边的长为（ ）．（A）  （B） （C）  （D）  解：D 如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F． 由已知可得 BE=AE=  ，CF＝ ，DF＝2，于是 EF＝4＋ ．过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得 AD  ＝ ．勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法  4．在一列数  ……中，已知 ，且当k≥2时， （取整符号  表示不超过实数 的最大整数，例如 ， ），则 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B 由 和可得 ， ， ， ， ， ， ， ，…… 因为2010=4×502+2，所以 =2．高斯函数；找规律。 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2010的坐标是（ ）． （A）（2010，2） （B）（2010， ） （C）（2012， ） （D）（0，2） 解：B由已知可以得到，点  ， 的坐标分别为（2，0），（2，）．记  ，其中 ．根据对称关系，依次可以求得：  ， ， ， ．令  ，同样可以求得，点 的坐标为（ ），即（ ），由于2010=4  502+2，所以点 的坐标为（2010，）．二、填空题 6．已知a＝  －1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．解：0 由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是 2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0． 7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ． 解：15 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为  （千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得 ， ① ， ②  ． ③由①②，得  ，所以，x=30． 故  （分）． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．   解：  如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF  CE，DF，且相交于点N．由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线  把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分． 于是，直线  即为所求的直线．设直线 的函数表达式为 ，则  解得  ,故所求直线的函数表达式为．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则  ．   解：  见题图，设  ．因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以  ．又因为 FC＝DC＝AB，所以  即  ，解得  ，或 （舍去）．又Rt△  ∽Rt△ ，所以  ， 即 =．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若  的最小值 满足 ，则正整数 的最小值为 ．解：  因为 为 的倍数，所以的最小值 满足 ，其中  表示的最小公倍数．由于   ，因此满足  的正整数的最小值为． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分） 11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证：
 ．
ED⊥BC， FD⊥BC， 因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则  ，所以，△ABC∽△AEF. …………（10分） 作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得  ， 从而  ， 所以  . …………（20分）12．如图，抛物线  （a 0）与双曲线 相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值； （2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.  解：（1）因为点A（1，4）在双曲线 上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为  .设点B（t，  ）， ，AB所在直线的函数表达式为 ，则有 解得 ， .于是，直线AB与y轴的交点坐标为  ，故 ，整理得 ，解得  ，或t＝ （舍去）．所以点B的坐标为（，）．因为点A，B都在抛物线 （a0）上，所以 解得 …………（10分） （2）如图，因为AC∥x轴，所以C（  ，4），于是CO＝4 . 又BO=2，所以 .设抛物线 （a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（ ，0）.因为∠COD＝∠BOD＝  ，所以∠COB= .（i）将△  绕点O顺时针旋转，得到△ .这时，点 (，2)是CO的中点，点 的坐标为（4， ）.延长  到点 ，使得 = ，这时点（8，）是符合条件的点.（ii）作△ 关于x轴的对称图形△ ，得到点 （1，）；延长 到点 ，使得 ＝ ，这时点E２（2， ）是符合条件的点．所以，点  的坐标是（8，），或（2，）. …………（20分）13．求满足  的所有素数p和正整数m.．解：由题设得  ，所以  ，由于p是素数，故 ，或 . ……（5分）（1）若 ，令 ，k是正整数，于是 ， ，故  ，从而 . 所以  解得 …………（10分）（2）若 ，令 ，k是正整数. 当  时，有 ， ，故  ，从而，或2. 由于 是奇数，所以 ，从而.于是  这不可能. 当  时， ， ；当 ， ，无正整数解；当 时， ，无正整数解. 综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分） 14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ 解：首先，如下61个数：11，  ， ，…， （即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设  是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数 ，因为 ，  ，所以  .因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设  ，i=1，2，3，…，n.由  ，得 ，所以  ， ，即 ≥11. …………（15分） ≤ ，故  ≤60. 所以，n≤61.综上所述，n的最大值为61. …………（20分） （64至91为荆州市全国三等奖至一等奖） (责任编辑：admin) |