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竞赛中的等高三角形面积问题 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 我们知道，等高三角形的面积比等于它们对应底边的比，其中等底等高三角形面积相等。利用等高三角形的这一性质，进行等高三角形的面积与对应边线段之间的互相转化，有助于我们解决一些三角形中的面积问题。 例1 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，BE、CD相交于F，设S四边形EADF=S1，S△BDF=S2，S△BCF=S3，S△CEF=S4。 （2011年全国初中数学竞赛）  A．S1S3＜S2S4 B．S1S3=S2S4 C．S1S3＞S2S4 D．不能确定 分析：要建立S1、S2、S3、S4之间的数量关系，其中S2、S3、S4为三角形面积可转化为线段之间的关系，可将S1设法转化为相应三角形的面积，从而探究S1、S2、S3、S4之间的数量关系。 方法1：如图（2），连结AF。设S△ADF=S0，S△AEF= S1—S0 △CEF与△CBF，△AEF与△ABF分别是等高三角形  = = 即 = ， ∴S1S3—S0 S3= S2S4+ S0 S4 ，即S1S3—S2S4= S0 S3+ S0 S4= S0 （S3+ S4）＞0 ∴S1S3＞S2S4 方法2：连DE。设S△DEF=S0。 == ，即 = ∴S0S3=S2S4又S1＞S0，∴S1S3＞S2S4 例2 如图2，梯形ABCD被对角线分为4个小三角形，已知△AOB和△BOC的面积分别为25cm2和35cm2，那么梯形的面积是 cm2。 （“五羊杯”初中数学邀请赛试题）  分析：由平行线间的距离相等，梯形中隐含着多对面积相等的三角形。要求梯形的面积只要求出△COD的面积，关键是通过等高三角形面积与线段的关系将这些三角形的面积联系起来。 由S△ABD=S△ABC 所以S△AOD=S△BOC=35 由等高三角形的面积比等于它们对应底边的比  = = ，即 = ∴ S△COD=49∴S梯形ABCD=25+35+35+49=144 （cm2） 例3 如图3，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点。连接AO并延长交BC于D，连接CO并延长交AB于F，求四边形BDOF的面积。 （2006年“希望杯”试题）  解：由E是AC的中点，O是BE的中点 S△ABE= S△CBE=  S△ACB=S△ABO= S△AEO= S△ABE= ； S△BCO= S△ECO= S△CBE=设S△BOF=x，S△BOD=y， 则S△AOF= S△ABO －S△BOF= －x，S△COD= S△BCO －S△BOD=－y根据等高三角形的面积比等于它们的底边的比，有 S△AOF∶S△BOF=S△ACF∶S△BCF 所以，（ －x）∶x=（++－x）∶（+x） 解得x= 同理，由S△BOD∶S△COD=S△BAD∶S△CAD 可得y= 所以，四边形BDOF的面积=x+y=   例4 如图4，已知△ABC的面积是1cm2，AD=DE=EC，BG=GF=FC，求图中阴影四边形的面积。（2002，希望杯） 解：设AG分别交BD、BE于M、N，AF分别交BD、BE于Q、P。因为AD=DE=EC， 所以S△BAD= S△BDE= S△BEC=  S△ABC=同理，S△BAG= S△GAF= S△BEC= S△FAC= S△GAC= 连接ND、NC、PD、PC。设S△NBG=x，S△NCE=y，则S△NCG=2x，S△NEA=2y，S△NBC=3x， 由S△NBG+S△NCG+S△NCE= S△BEC，S△NCG+ S△NCE+ S△NEA= S△GAC 所以  解得 再设S△PCF=m，S△PCF=n，则S△PBF=3m，S△PCA=3n 所以  解得m+n=，即四边形EPFC的面积为所以阴影四边形的面积= － －= .本文发表于《中学生数学》（初中版）2011年12月第12期 作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《中学数学》、《中学生数学》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《语数外学习》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《少年智力开发报》、《学习报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章100多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑：admin) |