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用轴对称性质解两道赛题 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 轴对称变换因其在变换过程中能将分散的条件集中于同一个图形，在各类数学竞赛中常受到青睐。 试题1（19届“希望杯”初二2试）如图1，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D。经AB反射后，反射光线又找到竖直在y轴位置的镜面，要使最后经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标是 。  分析：由光线反射时入射角=反射角，联想到用对称轴的性质求解。作点A关于y轴的对称点A′（－1，0），作点O关于AB对称点O′，则O′（1，1），连A′O′交AB于D，此即所求的点。 易求直线AB的方程为：y=－x+1；直线A′O′的方程为：y=  x+，解得交点D的坐标为（ ， ）。试题2（17届“希望杯”初二2试）如图2，正方形ABCD的边长为a，点E、F、G、H分别在正方形的四条边上，已知EF∥GH，EF=GH。  ⑴若AE=AH= a，求四边形EFGH的周长与面积；⑵求四边形EFGH的周长的最小值。 分析：⑴连HF。由EF∥GH，EF=GH，四边形EFGH为平行四边形。Rt△AHE≌Rt△FGC，均为等腰直角三角形，所以四边形EFGH为矩形。EH=FG=  a，EF=GH= a，所以矩形周长为2 a，面积为 a2。⑵要使四边形EFGH的周长最小，由四边形EFGH为平行四边形，只需EH+EF最小。 如图2-1，作H关于AB的对称点H′，连FH′交AB于E′。显然点E选在E′处，EH+EF值最小，最小值等于FH′。  仿⑴可知，当AE≠AH时，亦有AH=CF。所以 FH′=  =  =a练习题： 1.（2007年“创新杯”）如图3，在直角坐标系中，已知点A（－4，5）和点B（－8，3），在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使四边形ABCD周长最小。  ⑴在图中画出C、D，并写出作法； ⑵设点C（a，0），点D（0，b），求  的值。（答案与提示：作B关于x轴对称点B′，作A关于y轴对称点A′，连A′B′交x轴于C，交y轴于D。由A′B′所在直线方程可求出C、D坐标，得a=－  ，b= ）2.某公路的同一侧有A、B、C三个村庄，要在公路边建一货栈D，向ABC三个村庄运送农用物资，路线是D→A→B→C→D或D→C→B→A→D。 ⑴试问在公路边是否存在一点D，使送货路程最短？（把公路边近似看作公路上） ⑵将A、B、C三点放在平面直角坐标系中，把x轴建立在公路上，坐标如图4所示，请画出D点所在的位置，并写出画法。 ⑶求出D点在该坐标系中的坐标。（要求有运算过程） （答案与提示：作A关于x轴对称点A′，连A′C交x轴于D，即为所求。求出A′C所在直线方程，可求得D点坐标）  作者简介：宋毓彬，男，43岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》《数理报》、《小博士报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑：admin) |