2017初三数学期中考备考|初中数学压轴题的解题思路
http://www.newdu.com 2024/11/24 12:11:24 三好网 佚名 参加讨论
2017初三数学期中考备考|初中数学压轴题解题思路。初中数学试卷的压轴题会让很多考生头疼，原因是题目考查的知识点综合、复杂，如果考生没有清晰的数学思路，很难解答出来。初中数学答题思路但是纵观近几年的中考试卷不难发现解题规律，现将突破数学压轴题的方法如下：  截长补短法： 【方法说明】 遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论． 【方法归纳】 1．如图，若要求证AB＋BD＝AC，可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可；或延长AB至点C′使得AC′＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可．  2．如图，若要求证AB＋CD＝BC，可以在BC上截取线段BF＝AB，再证明CD＝CF即可；或延长BA至点F，使得BF＝BC，再证明AF＝CD即可．  图（1） 图（2） 3．在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（AB＝AD）相等，可以使用补短的方法延长另外两边的一条，构建全等三角形．  【典型例题】 如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P． （1）若AG＝AE，证明：AF＝AH； （2）若∠FAH＝45°，证明：AG＋AE＝FH； （3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．  【思路点拨】 （1）证明AF＝AH，因此先连接AH、AF．证明线段相等可考虑三角形全等的方法，观察发现只要证明Rt△ADH≌Rt△ABF（或Rt△AGH≌Rt△AEF）即可； （2）证明AG＋AE＝FH这种线段和的问题，可以考虑截长补短，发现在FH上截取的方法不好证明，可以考虑补短的方法．本题可以考虑把AG＋AE转化为DH＋BF，延长延长CB至点M，使得BM＝DH，然后证明MF＝FH即可； （3）由于矩形EPHD的边长并不知道，可以采用设未知数的方式，本题可以设ED＝x，DH＝y，则S矩形EPHD＝xy，根据Rt△GBF的周长为1，即可找到x与y的关系并求出面积．  【解题过程】 解：（1）连接AH、AF． ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°． ∵ADHG与ABFE都是矩形，∴DH＝AG，AE＝BF， 又∵AG＝AE，∴DH＝BF． 在Rt△ADH与Rt△ABF中，∵AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，DH＝BF， ∴Rt△ADH≌Rt△ABF，∴AF＝AH．  （2）【方法一】 延长CB至点M，使得BM＝DH，并连接AM，FH． ∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°． ∴∠D＝∠ABM＝90°，∴△ABM≌△ADH，∴AM＝AH，∠MAB＝∠DAH． ∵∠FAH＝45°， ∴∠MAF ＝∠BAF＋∠MAB＝∠BAF＋∠DAH＝90°－45°＝45°＝∠FAH 又∵AF＝AF，∴△AMF≌△AHF．∴MF＝HF． ∵MF＝MB＋BF＝HD＋BF＝AG＋AE，∴AG＋AE＝FH． 【方法二】 将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置． 在△AMF与△AHF中， ∵AM＝AH，AF＝AF，∠MAF＝∠MAH－∠FAH＝90°－45°＝45°＝∠FAH， ∴△AMF≌△AHF．∴MF＝HF． ∵MF＝MB＋BF＝HD＋BF＝AG＋AE，∴AG＋AE＝FH． （3）设ED＝x，DH＝y，则GB＝AB－AG＝1－y，BF＝BC－BF＝1－x， ∴在Rt△GBF中，GF2＝GB2＋BF2＝（1－y）2＋（1－x）2， ∵Rt△GBF的周长为1，∴GF＝1－GB－BF＝1－（1－x）－（1－y）＝x＋y－1， ∴（x＋y－1）2＝（1－y）2＋（1－x）2得xy＝1/2， ∴矩形EPHD的面积S＝ED·DH＝ xy＝1/2． 倍长中线法 【方法说明】 遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）．  【方法归纳】 1．如图，AD为△ABC边BC的中线．延长AD至点E，使得AD＝DE．若连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）；若连接CE，则△ADB≌△EDC（SAS）．  2．如图，点D为△ABC边BC的中点．延长ED至点F，使得DE＝DF，并连接BF，则△EDC≌△FDB（SAS）．  3．如图，AB∥CD，点E为线段AD的中点．延长CE交AB于点F，则△EDC≌△EAF（ASA）．  【典型例题】 1．（09莱芜）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG＝CG； （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．  【思路点拨】 （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG＝EG． （2）结论仍然成立，连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点；再证明△DAG≌△DCG，得出AG＝CG；再证出△DMG≌△FNG，得到MG＝NG；再证明△AMG≌△ENG，得出AG＝EG；最后证出CG＝EG． （3）结论依然成立．还知道EG⊥CG． 【解题过程】 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCF＝90°， 在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG＝1/2FD， 同理，在Rt△DEF中，EG＝1/2FD，∴CG＝EG． （2）（1）中结论仍然成立，即EG＝CG． 【方法一】 连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，∵AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，DG＝DG， ∴△DAG≌△DCG（SAS），∴AG＝CG；在△DMG与△FNG中， ∵∠DGM＝∠FGN，FG＝DG，∠MDG＝∠NFG，∴△DMG≌△FNG（ASA）， ∴MG＝NG；∵∠EAM＝∠AEN＝∠AMN＝90°，∴四边形AENM是矩形， 在矩形AENM中，AM＝EN， 在△AMG与△ENG中，∵AM＝EN，∠AMG＝∠ENG，MG＝NG， ∴△AMG≌△ENG（SAS），∴AG＝EG，∴EG＝CG． 【方法二】 延长CG至M，使MG＝CG，连接MF，ME，EC， 在△DCG与△FMG中，∵FG＝DG，∠MGF＝∠CGD，MG＝CG， ∴△DCG≌△FMG．∴MF＝CD，∠FMG＝∠DCG， ∴MF∥CD∥AB，∴EF⊥MF． 在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF＝CB，∠MFE＝∠EBC，EF＝BE， ∴△MFE≌△CBE，∴∠MEF＝∠CEB． ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°， ∴△MEC为直角三角形．∵MG＝CG，∴EG＝1/2MC，∴EG＝CG． （3）（1）中的结论仍然成立．理由如下： 过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC，过F作FN垂直于AB于N． 由于G为FD中点，易证△CDG≌△MFG，得到CD＝FM， 又因为BE＝EF，易证∠EFM＝∠EBC， 则△EFM≌△EBC，∠FEM＝∠BEC，EM＝EC， ∵∠FEC＋∠BEC＝90°，∴∠FEC＋∠FEM＝90°，即∠MEC＝90°， ∴△MEC是等腰直角三角形，∵G为CM中点，∴EG＝CG，EG⊥CG．  (责任编辑：admin) |