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备战2021中考,初三数学一轮复习旋转、圆易错难点


    在初三这一尤为关键的一年中,分流考试、重点高中之争是每个孩子都必须面对的一次重大抉择。目前各学校正进行一轮复习,同学们进展如何呢?资深数学老师给大家分享初三数学一轮复习旋转、圆易错难点,快来学习吧!
    
    ★圆知识点汇总
    ★圆的半径:r
    ★直径:d
    ★圆周率:π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数),通常采用3.14作为π的值
    ★圆面积:S=πr^2或S=π(d/2)^2
    ★半圆的面积:S半圆=(πr^2)/2
    ★圆环面积:S大圆-S小圆=π(R^2-r^2)(R为大圆半径,r为小圆半径)
    ★圆的周长:C=2πr或c=πd
    ★半圆的周长:d+πd/2或者d+πr
    ★垂径定理
    ★垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
    ★进一步结论
    ★平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
    △特别注意:这两个定理,哪个定律规定弦不是直径。注意选择题陷阱。
    ▌1、在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径
    圆上各点到定点的距离都等于定长
    到定点的距离等于定长的点都在同个平面上
    因此,圆心为O、半径为r的圆可以看成所有到定点O距离等于定长r的点的集合
    ▌2、弧、弦、圆心角
    弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
    圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆
    弦:连接圆上任意两点的线段,叫做弦。经过圆心的弦,叫做直径
    圆心角:顶点在圆心的角
    圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴
    圆是中心对称图形,圆心O是它的对称中心
    ▌3、圆周角
    顶点在圆上,并且两边都圆相交的角叫做圆周角。
    ▌4、圆周角定理
    在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半
    推论:
    半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对应的弦是直径。
    推论:
    圆的内接四边形对角之和为180度
    注意:对内接四边形的判定,必须4个顶点都在圆上。
    ▌5、点和圆的位置关系
    点P在圆内d点P在圆上d=r
    点P在圆外d>r
    ▌6、不在同一直线上的三个点确定一个圆
    注意:不在同一直线这一要点
    经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆
    外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫作这个三角形的外心
    特殊的:直角△的外心在斜边上的中点。
    一般求△外心的题往往是直角△或者等腰△,等腰△请结合垂径定理和勾股定理
    ▌7、直线和圆的位置关系
    直线l和圆O相交(有两个公共点)d直线l和圆O相切(有一个公共点)d=r直线为切线,点为切点
    直线l和圆O相离(没有公共点)d>r
    ▌8、切线的判定定理
    经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
    在灵活运用该定理的同时,切莫忘记第三大点中的判定方法!(往往在出现角平分线、等腰三角形的场所,我们需要用到此方法去判定相切)
    ▌9、切线的性质定理
    圆的切线垂直于过切点的半径
    这两个定理的运用:前者是不清楚直线与圆的关系,进行判断。后者是已知直线与圆相切,进行性质分析。
    ▌10、切线长定理
    经过圆外一点作过圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫作这点到圆的切线长
    从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这个定理叫作切线长定理。
    
    ▌11、三角形的的内心
    与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
    内切圆的圆心是三角形三条角一部分线的交点,叫作三角形的内心。
    注意内心外心的区别和应用。三角形的内心必然在△内部,外心则有可能在外部
    内切圆半径的计算方法
    三角形面积=内切圆半径*三角形周长/2
    例题(2011广东南塘二模)Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,内切圆半径=;
    ▌12、点和圆的位置关系
    点P在圆内d点P在圆上d=r
    点P在圆外d>r
    ▌13、三个相等:
    在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
    在同圆或等圆中,如果两两弧相等,那么它们所对应的圆心角相等,所对的弦相等。
    在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对应的圆心角相等,所对的弧相等。
    ▌14、直线和圆的位置关系
    直线与圆相交(两个交点)d直线与圆相切(一个交点)d=r
    直线与圆相离(没有交点)d>r
    ▌15、圆和圆的位置关系
    圆与圆相交(两个交点)R-r圆与圆相切(一个交点)d=R-r(内切)d=R+r(外切)
    圆与圆外离(没有交点)d>R+r
    圆与圆内含(没有交点)d还一种最特殊情况,同心圆d=0
    注意:相切一定要看清楚,是内切还是外切,还是两种都可能
    学生可尝试画一个数轴区域示意图
     ▌16、对圆而言,请注重其对称性
    相切的两个圆,不论内切外切,显然,切点和两个圆心应该在同一直线上。
    ▌17、扇形的弧长及面积
    扇形:由两条半径及两条半径组成的角对应的弧形成的图形
    扇形弧长:
    注意区别弧长与周长
    扇形面积
    弧长及面积的关系
    ▌18、正多边形
    正多边形:各边长相等,各顶角相等的多边形
    我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心
    外接圆的半径叫做正多边形的半径
    正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角
    中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距
    正多边形的计算:遵循每条边所对应的圆心角的度数为360/n即可,利用垂径定理,等腰三角形进行解答。
    ▌19、圆锥的侧面积和全面积
    圆锥是由一个底面和一个侧面围成的
    我们把连接圆锥顶点和底边圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线
    圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为,因此圆锥的侧面积为,圆锥的全面积为
    圆锥侧面展开扇形的中心角可通过此扇形的弧长及半径,进行计算
    ▌20、把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。
    点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
    如果图形上的P经过旋转变为点P’,那么这两个点叫做这个旋转的对应点
    把一个图形绕着某一个点旋转180度
    如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形。
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