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类型2 利用“截长补短”构造全等三角形
【例2】 如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.求证：CD＝AD＋BC.
证明：在CD上截取DF＝DA，连结FE.
在△ADE和△FDE中，
AD＝FD，∠ADE＝∠FDE，DE＝DE，
∴△ADE≌△FDE.
∴∠A＝∠DFE.
又∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.
∵∠DFE＋∠EFC＝180°.
∴∠B＝∠EFC.
在△EFC和△EBC中，
∠EFC＝∠B，∠ECF＝∠ECB，EC＝EC，
∴△EFC≌△EBC.
∴FC＝BC.
∴CD＝DF＋FC＝AD＋BC.
【方法归纳】 遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决．
3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．
解：BC＝BE＋CD.
证明：在BC上截取BF＝BE，连结OF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠FBO.
又∵BO＝BO，
∴△EBO≌△FBO.
∴∠EOB＝∠FOB.
∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－12∠ABC－12∠ACB＝180°－12(180°－∠A)＝120°.
∴∠EOB＝∠DOC＝60°.
∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.
∵CE平分∠DCB，∴∠DCO＝∠FCO.
又∵CO＝CO，∴△DCO≌△FCO.∴CD＝CF.
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.
4．问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF；
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
解：EF＝BE＋DF仍然成立．
证明：延长FD到G，使DG＝BE，连结AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，
∴∠B＝∠ADG.
在△ABE和△ADG中，BE＝DG，∠B＝∠ADG，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.
∵∠EAF＝12∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.
∴∠EAF＝∠GAF.
在△AEF和△AGF中，AE＝AG，∠EAF＝∠GAF，AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.
∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF. |