|
类型3 利用“中线倍长”构造全等三角形
【例3】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AC>AB，求证：AB＋AC>2AD>AC－AB.
证明：延长AD至E，使AD＝DE，并连结CE，
∵D是BC上的中点，
∴CD＝BD.
又∵AD＝DE，∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB≌△EDC(SAS)．
∴AB＝CE.
∵AC＋CE>2AD>AC－CE，
∴AB＋AC>2AD>AC－AB.
【方法归纳】 当题目中出现中线时，常常延长中线，使所延长部分与中线的长度相等，然后连结相应的端点，便可以得到全等三角形．
5．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证：AE＝12AC.
证明：延长AE至F，使EF＝AE，连结DF.
∵AE是△ABD的中线，
∴BE＝DE.
又∵∠AEB＝∠FED，
∴△ABE≌△FDE.
∴∠B＝∠BDF，AB＝DF.
∵BA＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，BD＝DF.
∵∠ADF＝∠BDA＋∠BDF，∠ADC＝∠BAD＋∠B，
∴∠ADF＝∠ADC.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∴DF＝CD.
又∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC(SAS)．
∴AC＝AF＝2AE，即AE＝12AC.
6．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.
证明：延长AM至点N，使MN＝AM，连结BN，
∵M为BC中点，
∴BM＝CM.
又∵AM＝MN，∠AMC＝∠NMB，
∴△AMC≌△NMB(SAS)．
∴AC＝BN，∠C＝∠NBM.
∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.
∵AD＝AC，AC＝BN，
∴AD＝BN.
又∵AB＝AE，∴△ABN≌△EAD(SAS)．
∴DE＝NA.
又∵AM＝MN，∴DE＝2AM. |