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类型4 运动过程中等腰三角形中的分类讨论
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 cm，AC＝6 cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为258或5或8秒．
解析：①当AD＝BD时，
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AD2＝AC2＋CD2，即BD2＝(8－BD)2＋62，
解得BD＝254 cm.
则t＝2542＝258(秒)；
②当AB＝BD时，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得
AB＝AC2＋BC2＝62＋82＝10(cm)，
则t＝102＝5(秒)；
③当AD＝AB时，BD＝2BC＝16 cm，
则t＝162＝8(秒)．
综上所述，t的值可以是：258，5，8.
6．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1 cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2 cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)当t＝2秒时，求PQ的长；
(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
解：(1)BQ＝2×2＝4(cm)，
BP＝AB－AP＝8－2×1＝6(cm)，
∵∠B＝90°，
∴PQ＝BQ2＋BP2＝42＋62＝213(cm)．
(2)根据题意，得BQ＝BP，
即2t＝8－t，
解得t＝83.
∴出发时间为83秒时，△PQB是等腰三角形．
(3)分三种情况：
①当CQ＝BQ时，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∠A＋∠C＝90°.
∴∠A＝∠ABQ.
∴BQ＝AQ.
∴CQ＝AQ＝5 cm.
∴BC＋CQ＝11 cm.
∴t＝11÷2＝5.5(秒)．
②当CQ＝BC时，如图2所示，
则BC＋CQ＝12 cm.
∴t＝12÷2＝6(秒)．
③当BC＝BQ时，如图3所示，
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝AB?BCAC＝6×810＝4.8(cm)．
∴CE＝BC2－BE2＝3.6 cm.
∴CQ＝2CE＝7.2 cm.
∴BC＋CQ＝13.2 cm.
∴t＝13.2÷2＝6.6(秒)．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形． |