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1．下列说法中，正确的是(A) A. 每一个命题都有逆命题 B. 假命题的逆命题一定是假命题 C. 每一个定理都有逆定理 D. 假命题没有逆命题 2．下列命题的逆命题为真命题的是(C) A. 直角都相等 B. 钝角都小于180° C. 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 D. 同位角相等 3．下列定理中，有逆定理的是(D) A. 对顶角相等 B. 同角的余角相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 在一个三角形中，等边对等角 4．下列命题中，其逆命题是假命题的是(B) A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 若两个数的差为正数，则这两个数都为正数 C. 若ab＝1，则a与b互为倒数 D. 如果|a|＝|b|，那么a2＝b2 5．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例． (1)若x＝y＝0，则x＋y＝0. 【解】 逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0.这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0. (2)等腰三角形的两个底角相等． 【解】 逆命题：有两角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题． 6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理． (1)同旁内角互补，两直线平行． (2)三边对应相等的两个三角形全等． 【解】 (1)有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”． (2)有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．” (第7题) 7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题． 已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC. 【解】 连结BC. ∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上． ∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)． 又∵点E在AD上，∴EB＝EC. 8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例． 【解】 逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直． 原命题是假命题. 反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝135°，即∠CAD≠∠EBF. (第8题解) 逆命题是假命题． 反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直． 9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题． 【解】 逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF. (第9题解) 求证：△ABC为等腰三角形． 证明：连结AD. ∵D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴S△ABD＝12AB?DE， S△ACD＝12AC?DF. 又∵DE＝DF，∴AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形． 10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理． 【解】 逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等． 反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高， ∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等． 故此定理没有逆定理． (第10题解) 11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明． 【解】 逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题． (第11题解) 已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.求证：△ABC是等腰三角形． 证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE. ∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA， ∴△BDE≌△CDA(SAS)． ∴BE＝CA，∠BED＝∠CAD. ∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD. ∴∠BAD＝∠BED.∴AB＝BE.∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． (责任编辑：admin) |