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第1章 三角形的初步知识
1．1 认识三角形
第1课时 三角形的有关概念及三边关系
01 基础题
知识点1 三角形及相关概念
1．(1)如图，点D在△ABC内，写出图中所有除△ABC外的三角形：△ABD，△ACD，△BCD；
(2)在△ACD中，∠ACD所对的边是AD；在△ABD中，边AD所对的角是∠ABD．
知识点2 三角形内角和定理
2．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是( B )
A．40° B．60°
C．80° D．100°
3．如图，一个长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( C )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
4．一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为( A )
A．75° B．60°
C．65° D．55°
知识点3 三角形按角的大小分类
5．在△ABC中，若∠A＝35°，∠B＝55°，则△ABC为 ( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．任意三角形
6．如图，图中有6个三角形，其中，△ABC，△ACD是锐角三角形，△ACE，△ABE，△ADE是直角三角形，△ABD是钝角三角形．
知识点4 三角形的三边关系
7．在下列长度的四根木棒中，能与4 cm、9 cm长的两根木棒钉成一个三角形的是( C )
A．4 cm B．5 cm C．9 cm D．13 cm
8．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋b－2＝0，则c的值可以为( A )
A．5 B．6
C．7 D．8
9．如图，从点A到点D有三条路线：A—B—D，A—C—D，A—D，其中最短的路线是A－D．
10．(1)在△ABC中，AB＝3，AC＝4，那么BC边的长度应满足什么条件？
(2)如果一个三角形的两边长分别为5 cm，7 cm，第三边的长为x cm，且x是一个奇数，求三角形的周长；
(3)如果三角形的三边为连续整数，且周长为24 cm，求它的最短边长．
解：(1)1<BC<7.
(2)三角形的周长为15 cm或17 cm或19 cm或21 cm或23 cm.
(3)它的最短边长为7 cm.
02 中档题
11．若a，b，c是三角形的三边长，则化简：|a－b－c|＋|a＋c－b|－|c－a－b|＝( B )
A．3a－b－c B．－a－b＋3c
C．a＋b＋c D．a－3b＋c
12．一个等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1＝60°，则∠2的度数为( B )
A．85°
B．75°
C．60°
D．45°
13．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框(形状不限)，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为( D )
A．6 B．7
C．8 D．9
14．如图，△ABC中，∠DBC＝13∠ABC，∠DCB＝13∠ACB，∠A＝45°，则∠BDC＝135°．
15．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器安装在AC，BD的交点E处，你知道为什么吗？
解：另任取一点E′(异于点E)，分别连结AE′，BE′，CE′，DE′，
在△BDE′中，DE′＋BE′>DB.
在△ACE′中，AE′＋CE′>AC.
∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，
即AE＋BE＋CE＋DE最短．
16．若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形有多少个？分别写出三角形的三边长．
解：满足条件的三角形共有7个．三边长分别是8，8，2；8，7，3；8，6，4；8，5，5；7，7，4；7，6，5；6，6，6.
03 综合题
17．观察并探求下列各问题：
(1)如图1，在△ABC中，点P为边BC上一点，则BP＋PC<AB＋AC(填“>”“<”或“＝”)；
(2)将(1)中的点P移到△ABC内，得图2，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由；
(3)将(2)中的点P变为两个点P1，P2，得图3，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
解：(2)△BPC的周长<△ABC的周长．
理由如下：延长BP交AC于点M.
在△ABM中，BP＋PM<AB＋AM，
在△PMC中，PC<PM＋MC，
两式相加，得BP＋PC<AB＋AC，
∴BP＋PC＋BC<AB＋AC＋BC，
即△BPC的周长<△ABC的周长．
(3)四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长，
理由如下：分别延长BP1，CP2交于点M.
由(2)知，BM＋CM<AB＋AC.
又∵P1P2<P1M＋P2M，
∴BP1＋P1P2＋P2C<BM＋CM<AB＋AC.
∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC<AB＋AC＋BC，
即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长． |