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利用分类思想巧解动点与等腰三角形问题 内蒙古赤峰市巴林左旗花加拉嘎学校 韩宏杰 在2011年的湖南湘潭市中考试卷中有这样一道题： 如图一，直线  交 轴于A点，交 轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）。  图一 （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。 第二问求“在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。” 等腰三角形是一种特殊的几何图形，特别是当等腰三角形和函数及动点问题结合到一起，会出现答案的不唯一性，中考命题人员对此类问题往往特别的青睐，而学生解答时常会出现漏解现象。如果利用分类思想，结合直观作图的手段进行分析解答，可以有效避免因思维不严密出现漏解的现象。下面结合本题重点介绍一下利用分类思想解答此类问题的技巧。 一、以静制动，找准切入点。 此类问题中虽然所涉及的点是运动的，但总有部分已知点是不变的，抓住这些不变的点，将其作为解题的突破口，采取以静制动的策略是解答此类类型题成功所在。在这道题中，因为已知点Q是对称轴上的一个动点，所以它的位置是变化的，则△ABQ不唯一。认真分析已知可发现点Q在对称轴上，因此它的横坐标不变。且△ABQ的边AB是确定不变的，这样可从线段AB入手，以AB作解决问题的切入点，来寻找点Q的具体位置。 二、分类讨论，作图击破。 等腰三角形的边分两类：一类是腰；另一类是底。在这里已知边AB既可以为腰，又可以为底。当AB为腰时，又分两种情况：一种情况为AB=AQ，即AB为腰，且点A为顶角的顶点；另一种情况为AB=BQ，即AB为腰，且点B为顶角的顶点。这样共有三种情况出现： 第一种情况：当AB为腰，且点A为顶角的顶点时，点Ｑ在以点Ａ为圆心AB长为半径的圆上（如图二）。 第二种情况：当AB为腰，且点B为顶角的顶点时，点Ｑ在以点B为圆心AB长为半径的圆上（如图三）。 第三种情况：当AB为底时，点Q在线段AB的垂直平分线上（如图四）。   图二 图三   图四 图五 由图二可以看出，即在  上又在对称轴上的点有两个，我们可以将其标记为点 和 （如图五）。由图三可以看出，即在  上又在对称轴上的点也有两个，我们可以将其标记为点 和 （如图六）。观察图像发现点在直线上，因此不能构成等腰三角形。由图四可以看出，即在线段AB的垂直平分线上又在对称轴上的点有一个，我们可以将其标记为点  （如图七）。  图六 图七 通过作图可以发现满足条件的点共有四个，可以根据已知依次求出这四个点的坐标。具体解答如下： 【答案】解：（1）略 （2）∵  ，∴该抛物线的对称轴为x=1。 设点Q坐标为（1，m）， 则  ，又 。当AB=AQ时（即第一种情况，图五），  ，解得：  ，∴Q点坐标为（1，  ）或（1， ）；当AB=BQ时（即第二种情况，图六），  ，解得：  ，∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）， 又∵点（1，6）在直线 上，∴点A、B、Q在同一直线，不成立， ∴Q点坐标为（1，0）。 当AQ=BQ时（即第三种情况，图七），  ，解得：  ，∴Q点坐标为（1，1）。 ∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1， ）、（1，）、（1，0）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形。利用分类思想，通过直观作图，可以直接做出满足条件的所有的点，避免了思考不全面而出现漏解的现象，有效的解答了动点与等腰三角形为背景的综合性问题。 练一练： 1.（2010陕西省中考试题9题）如图八，点A、B、P在⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个   图八 图九 2.（根据连云港市中考试题第28题改编）如图九，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（－2，－2），半径为．函数y＝－x＋2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点，若△POA是等腰三角形，求点P的坐标。 (责任编辑：admin) |