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巧用相似三角形的面积比证题 湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 赵国瑞 相似三角形的面积比等于相似比的平方，这是相似三角形的一个重要性质．灵活运用该性质，可以巧妙解决有关问题． 例1 已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADB=∠C． 求证：  = ． 证明：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠BDC． 又∠ADB=∠C，∴△ABD∽△BDC． ∴  =．又 =，∴=．例2 在△ABC中，∠A=120°，BC上有点D、E，△ADE为等边三角形． 求证：  = ．证明：∵△ADE为等边三角形，∴∠EAD=∠ADE=∠DEA=60°． ∴∠B+∠2=60°． 又∠BAC=120°，∴∠1+∠2=60°． ∴∠1=∠B．  ∴△EAC∽△ABC．∴  =．又 =，∴=．例3 四边形ABCD中，BD平分∠B，交AC于E，且  =AB·BC．求证：  = ．证明：过A作AM⊥BD，垂足为M，过C作CN⊥BD，垂足为N，则  = = ． ∵AM∥CN，∴  ．∵BD平分∠B，∴∠ABD=∠DBC． ∵ =AB·BC，∴ ．∴△BAD∽△BDC．∴ =．∴ =．例4 AD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EF和BC的延长线交于E(如图)． 求证：  = ．证明：连结AE，则∠ADE=∠DAE． 又∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，∠1=∠2，  ∴∠AEC=∠BEA． ∴  =．又 =，∴=．
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