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动点最值问题解法探析 湖北省随州市草店中学 王厚军 李华荣 一、问题原型： （人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道  上修建一个泵站，分别向 、 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法： 对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。 三、一般结论：  ( 在线段 上时取等号)（如图1-2）   线段和最小，常见有三种类型： （一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小 通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。 1.两个定点+一个动点。 如图1-3，作一定点 关于动点 所在直线的对称点 ，线段（是另一定点）与的交点即为距离和最小时动点位置，最小距离和 。例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形  的边长为 ， 是 的中点，是对角线 上一动点，则 的最小值是 。 解析： 与 关于直线对称，连结 ，则 。连结  ,在 中， ， ，则  故的最小值为 例2 （2009年济南市中考题）如图3，已知：抛物线  的对称轴为 ，与 轴交于、两点，与轴 交于点，其中 ， 。 （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知在对称轴上存在一点 ，使得 的周长最小，请求出点的坐标。解析：（1）对称轴为 ，，由对称性可知： 。根据、、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为： （2） 与关于对称轴对称，连结，与对称轴交点即为所求点。设直线 解析式为： 。把、代入得， 。当时， ，则 2.两个定点+两个动点。 两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。 例3 如图4，河岸两侧有 、两个村庄，为了村民出行方便，计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？ 解析：设桥端两动点为  、 ，那么点随点而动， 等于河宽，且垂直于河岸。将 向上平移河宽长到 ，线段 与河北岸线的交点即为桥端 点位置。四边形 为平行四边形， ，此时 值最小。那么来往、两村最短路程为： 。例4 (2010年天津市中考)在平面角坐标系中，矩形  的顶点 在坐标原点，顶点、分别在轴、轴的正半轴上， ， ，为边 的中点。（1）若 为边 上的一个动点，当 的周长最小时，求点的坐标；（2）若 ， 为边上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点，的坐标。解析：作点 关于轴的对称点 ，则 ， 。（1）连接  交轴于点，连接，此时的周长最小。由 可知  ，那么 ，则 。（2）将 向左平移2个单位（）到 点，定点、分别到动点、的距离和等于为定点、到动点的距离和，即 。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在 上截取 ，连接 交轴于，四边形 为平行四边形， 。此时 值最小，则四边形的周长最小。由、 可求直线解析式为 ，当 时， ，即 ，则 。（也可以用（1）中相似的方法求坐标）  （二）“|动定|+|动动|”型： 两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。 利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。 例5 （2009年陕西省中考）如图6，在锐角  中， ， ， 的平分线交于点，、分别是 和 上的动点，则 的最小值为 4 。  解析：角平分线所在直线是角的对称轴， 上动点关于的对称点 在上， ， ，当 时， 最小。作 于，交于，∵ ，∴  作  交于， 例6 如图7，四边形 是等腰梯形，、在轴上，在轴上， ， ， ， ，抛物线 过、两点。  （1）求  、 ；（2）设 是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为 ，求的最大值；（3）当（2）中 点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段 上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标。解析：（1）由 ，，，可得： 、 、 、 ；根据、的坐标可求出抛物线解析式为 （2）设  ，且 ，则 ，用零点分段法可求得， 。当 时， 。此时  ，则 。（3） 轴与直线 关于对称，作 轴于 ，动点关于的对称点 在直线上， ，当 垂直于直线时，的值最小。 ，根据和可求直线的解析式 ，则有 。由 可知， 。作 ，过点作轴的平行线，交 于，那么 。作 于，则 ， ，当是于 的交点时，与重合， 有最小值5。函数，此时，则 ，即 。3.“|定动|+|动动|+|动定|”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。 例7 （2009年漳州中考）如图8，  ，是 内一点， ， 、 分别是和上的动点，求 周长的最小值。  解析：分别作 关于、的对称点、，连接 ，则 ，当、在线段上时， 周长最小，∵  ， ∴  。 则周长的最小值为 例8 （2009年恩施中考）恩施到张家界高速公路  与沪渝高速公路 垂直，如图9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（）和世界级自然保护区星斗山（）位于两高速公路同侧， ，到直线的距离为 ，到直线和的距离分别为 和 。请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。  解析：作点 关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接 ， 。当、在线段上时， 最小。过 、分别作轴、轴的平行线交于。在 中， ， ，交轴于，交轴于。 ，而 ∴ 四边形  的周长最小值为：
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