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两个斜率和截距互换的一次函数 湖北省襄阳市樊城区牛首镇竹条一中 谷兴武 张 琴 学习八年级数学（上）《一次函数》内容时经常遇到这样的习题：一次函数  与 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ） A. B. C. D. 笔者调查了本校的部分数学教师，归纳有两种方法传授给学生，方法一：逐个去分析这四幅图，就其中一幅图而言，首先假定其中任意一条直线是 ，由该直线的位置可得 与0的大小关系（即判断出的符号），再用已确定符号的，试一试是否适合另一条直线的位置（假定另一条直线是），若适合，选择该图。方法二：也是逐个分析每一幅图，任意假定其中一条直线是，得到一组的符号；再假定另一条直线是，也得到一组的符号，如果这两组的符号一致，说明此图正确。前不久笔者看到一本有关初中奥数的书中指出，直线 与的交点是 ，交点的横坐标是定值1。本人当时就预感到自己和部分教师对“一次函数与的图象在同一直角坐标系内的大致位置”的认识欠深入，有必要再研究。一、从两直线的交点入手 解一次函数 与组成的方程组，但是在解的过程中，笔者发现：只有当 时（即 时），方程组才有唯一的一组解，即直线与在同一直角坐标系内交点才是唯一的，且为，可见，这个交点只在直线 上(如图1)。容易看出，当 时，一次函数与成同一条直线了，所以笔者认为文首题目的条件不严密，应添加：. 二、从两直线所在的象限入手 笔者分析，一次函数图像的大致位置是由直线的斜率和它在y轴上的截距的符号来决定的，由于直线 与的斜率和在y轴上的截距是互相交换的，所以这两条直线的位置互相牵制。当同号时，直线与同时过相同的三个象限；当异号时，它们不能同时过相同的三个象限。笔者通过探究，可归为三类：1.当  且时，两条直线都过一、二、三象限（如图2）说明一下，图形中 的位置可以互换（下文的图3同），但是同时两直线的解析式也发生互换。 2.当  且时，两条直线都过二、三、四象限（如图3） 3.当  时，过一、三、四象限，过一、二、四象限。当  时，过一、二、四象限，过一、三、四象限。显然，第三类的两种情况可以合二为一：当 异号时，若一条直线过一、三、四象限，则另一条直线必过一、二、四象限（如图4）。反之，亦然。 总结 综上所述，归纳如下： 情形 1 当 同正且不相等时，一次函数与的图象在同一直角坐标系内都过一、二、三象限，这两条直线的交点一定在第一象限且在直线上.情形2 当 同负且不相等时，这两条直线都过二、三、四象限，交点一定在第四象限且也在直线上.情形3 当 异号时，它们其中一条直线过一、三、四象限，另一条直线过一、二、四象限，交点所在象限取决于 的符号，若 ，交点在第一象限；若  ，交点在 轴上（1，0）处；若  时，交点在第四象限。且交点必在直线上.三、应用举例 例1 现在，我们再回过头来解决文章开头的题目（最好加个条件 ），首先从交点上分析，一次函数与的图象在同一坐标系内的交点必在直线上，淘汰选项B、D；然后再从这两条直线所经过的象限来分析，只有上述总结的三种情形，从而在剩余的选项A、C中把A淘汰掉，选择C. 显然，此法优于文章第二段介绍的方法。例2 设  且 ，将一次函数与的图象画在同一直角坐标系内，则图中正确的是（ ） 分析 首先根据条件 ，淘汰选项 ，再从这两条直线所经过的象限来分析，观察剩下的三个选项都符合前面总结的情形3，但是选项 中两直线的交点所处的位置有所不同，从三幅图可得：异号且 .又因已知，所以，可得交点在第四象限，故选 作者简介：谷兴武，男，39岁，中学一级教师，任教初中数学多年，有一定的教学经验。 (责任编辑：admin) |