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双曲线中的面积问题 湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬 学习反比例函数时，我们经常遇到一些求解与其函数图象双曲线有关的面积问题。要解决好这些问题，应注意以下几个方面的基础知识： 设反比例函数式为y=  。⑴由双曲线上一点向两条坐标轴做垂线段，由这两条垂线段与两坐标州围成的矩形的面积计算。（如图1，以第一象限的图象为例）  由四边形PMON为矩形。设P点坐标为（m，n），P在y= 图象上，则有mn=k。∵OM= ，ON= ∴S四边形OMPN=OM·ON= ·= = ⑵由双曲线上一点向其中一条坐标轴的作垂线段，并连接这一点与原点的线段，由这两条线段与坐标轴围成的三角形的面积的计算。（如图2，仍以第一象限的图象为例）  由图象可知，S△POM=S△PON=  S四边形OMPN=。⑶理解点的坐标的几何意义：点P的坐标为（m，n），则 表示P到y轴的距离；表示P到x轴的距离。⑷用好双曲线的对称性：双曲线关于原点O对称，因此双曲线y=  与过原点O的正比例函数y=k2x的交点关于原点O对称。⑸会利用反比例函数关系式y= 设双曲线上点的坐标。如点P在双曲线y=的图象上，设P点的横坐标为m，则P点的坐标可表示为（m， ）⑹会用割补法求面积。尤其要注意有时需先利用坐标轴构造出特殊图形（如矩形、梯形、直角三角形等）。 一、用好双曲线的对称性 例1 若函数y=kx（k＞0）与函数y=  的图象相交于A、C两点，AB⊥x轴于B。则△ABC的面积为（ ）。 A。1 B。2 C。3 D。4 解：由A在双曲线y= 上，AB⊥x轴于B。 ∴S△ABO= ×1=又由A、B关于O对称，S△CBO= S△ABO= ∴S△ABC= S△CBO+S△ABO=1 故选（A） 二、正确理解点的坐标的几何意义 例2 如图，反比例函数y=－  与一次函数y=－x+2的图象交于A、B两点，交x轴于点M，交y轴于点N，则S△AOB= 。 解：由y=－x+2交x轴于点M，交y轴于点N M点坐标为（2，0），N点坐标为（0，2） ∴OM=2，ON=2 由   解得 或 ∴A点坐标为（－2，4），B点坐标为（4，－2） S△AOB=S△AON+S△MON+S△BOM = ON· +OM·ON+OM· =6（或S△AOB=S△AOM+S△BOM= OM· +OM·=6）三、注意分类讨论 例3 如图，正方形OABC的面积为9，点O是坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上。点P（m、n）是函数函数y=上任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线。垂足分别为E、F，并设矩形OEPF中和正方形OABC不重合部分的面积为S。 ⑴求点B的坐标和k值。 ⑵当S=  时，求P点的坐标。解：⑴设B点坐标为（x0，y0），B在函数y= （k＞0，x＞0）的图象上，∴S正方形OABC= x0y0=9，∴x0=y0=3即点B坐标为（3，3），k= x0y0=9 ⑵①当P在B点的下方（m＞3）时。 设AB与PF交于点H，∵点P（m、n）是函数函数y=  上，∴S四边形CEPF=mn=9，S矩形OAHF=3n ∴S=9－3n= ，解得n= 。当n=时， =，即m=6∴P点的坐标为（6， ）②当P在B点的上方（m＜3）时。 同理可解得：P1点的坐标为（ ，6）∴当S= 时，P点的坐标为（6，）或（，6）。四、善用“割补法” 例4 如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=  的图象相交于A（1，4），B（3，m）两点。 ⑴求一次函数解析式；⑵求△AOB的面积。 解：⑴由A（1，4），在y= 的图象上，∴k2=xy=4B（3，m）在y=  的图象上，∴B点坐标为（3， ）A（1，4）、B（3， ）在一次函数y=k1x+b的图象上，可求得一次函数解析式为：y=－ x+ 。⑵设一次函数y=－ x+交x轴于M，交y轴于N（如图）。则M（4，0），N（0，）S△AOB=S△MON－S△OBM－S△AON= OM·ON—OM－ON= ×4×－×4×－××1=五、构造特殊辅助图形 例5 如图，已知直线y= x与双曲线y=（k＞0）交于A、B两点，且点A横坐标为4。⑴求k的值；⑵若双曲线y=（k＞0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积。⑶过原点O的另一条直线交双曲线y=（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点ABPQ为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标。 解：⑴A横坐标为4，在直线y= x上，A点坐标为（4，2）A（4，2）又在y= 上，∴k=4×2=8⑵C的纵坐标为8，在双曲线y= 上，C点坐标为（1，8）过A、C分别作x轴、y轴垂线，垂足为M、N，且相交于D，则得矩形ONDM。S矩形ONDM=4×8=32。 又S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4 ∴S△AOC= S矩形ONDM―S△ONC―S△CDA―S△OAM=32―4―9―4=15 ⑶由反比例函数图象是中心对称图形，OP=OQ，OA=OB， ∴四边形APBQ是平行四边形。S△POA=  S四边形APBQ=6设P点的坐标为（m，  ），过P、A分别作x轴、y轴垂线，垂足为E、M。∴S△POE=S△AOM= k=4①若0＜m＜4时，如图所示。 ∵S△PEO+S梯形PEMA=S△POA+S△AOM，∴S梯形PEMA=S△POA=6 ∴ （2+）（4－m）=6 解得m=2或m=－8（舍去） P点的坐标为（2，4）②若m＞4时，同理可求得m=8或m=－2（舍去），P点的坐标为（8，1） 作者简介：宋毓彬，男，45岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《小博士报》、《少年智力开发报》等报刊发表教学辅导类文章60多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。 (责任编辑：admin) |