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注重数学思想，巧求阴影面积 湖北省安陆洑水初中 王官清 和圆有关的阴影部分的面积，新课标试验教材的若干习题，很具代表性，同学们认真分析研究，体会其解法所涉及的数学思想和方法，对提高我们分析问题和解决问题的能力，是大有裨益的． 一、运用转化的思想求解 例1 如图1，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于F，且AB∥CD，AB=4cm，求阴影部分的面积．  解析：如图1-1，如果想直接求阴影部分的面积，因为它是不规则图形，我们无法求解．把小半圆平移到与大半圆的圆心重合的位置，作OE⊥AB，连接OB，可知BE=2，阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积． 即   = ，点评：将小半圆的平移到和大半圆圆心重合，变为特殊的位置关系，很容易发现两个半圆的面积之差等于阴影部分的面积．然后利用垂径定理和勾股定理，就能够求得结果，并不需要求两个半圆的半径．这种等积变换、以及一般向特殊转化的方法在今后的学习中经常用到． 例２ 如图２  外切于点P，它们的半径分别为0.6 和0.2，直线CD与它们都相切，切点分别为C、D，求图中阴影部分的面积． 分析：因为直接求阴影部分的面积是比较困难的，必须通过转化．根据切点较多的情况，过切点作半径，作连心线，构造直角梯形．阴影部分的面积等于直角梯形的面积减去两个扇形的面积． 解：连接AC、BD、AB.作BE⊥AC于E. 如图２-1. ∵C、D是直线CD与  和 的切点，∴AC⊥CD，BD⊥CD.∵ 和外切于点P，∴AB经过两圆的切点P.∴    ∵AE=0.4，AB=0.8，∴∠A=60°，∠PBD=120°， ∴  ， ， ∴  = （ ）点评：在和圆有关的相切的问题中，经常作的辅助线是“过切点作半径”．从而将问题转化到和直角有关的三角形、梯形、扇形来处理．特别是和两圆相切的问题中，构造直角三角形是必须掌握的方法技巧．要好好体会． 二、运用方程的思想求解 例３ 如图３，正方形的边长为a，以每边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积．  分析：如图３-１，设一个阴影部分面积为x，一个空白部分面积为y， 则  三、运用整体的思想求解 例４ 如图４，  两两不相交，且半径都是0.5，求图中的三个扇形（即阴影部分的面积）之和. 分析：虽然不知道三个扇形的圆心角分别是多少，但是扇形的三个圆心角是△ABC的三个内角，三角形三个内角的和是180度，所以三个扇形的半径相同，拼在一起是一个半圆，于是问题便迎刃而解．这种整体的思想在解决数学问题时非常重要． 解：如图3-1，因为三个圆的半径相同，所以三个扇形的面积就是半圆的面积． 因此  （）.
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