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学会“分析”是完美解题之源 江苏省如东县大豫镇社区教育中心 陈 耀 分析是解决问题的前提，完美的解法来源于对问题的周密的分析，分析的首要任务是从问题的条件与结论中提取有利的解题信息。本文举例谈谈解决问题时分析的思路和方法。 例1 如图，在△ABC中，AB=AC=7㎝，点P是BC边上的一点，AP=5㎝，求BP·CP的值。  分析一：显然，这里不宜考虑用相似三角形的方法来求得结果。可换个角度想BP·CP能否作些转化，因为这是个等腰三角形，如果作一条底边上的高，然后通过勾股定理以及一些有益的等量代换或许能解决。 解法1：作AD⊥BC于点D ∵AB=AC，AD⊥BC，BD=CD∴BP·CP=（BD＋PD）（BD－PD）=BD2－PD2=（AB2－AD2）－（AP2－AD2）=AB2－AP2=72－52=24（㎝2）。 分析二：求两条线段的积，我们会联想到圆的相交弦定理，不妨考虑作个辅助圆，也许能行。 解法2：以A为圆心、AB为半径作⊙A，过点A、P作直径MN。由相交弦定理，得 BP·CP=PM·PN=（AP＋AM）（AN－AP）=（7＋5）（7－5）=24（㎝2）。  例2 如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B，直线CD过点B分别交⊙O1与⊙O2于C、D，M为  的中点，AM交⊙O1于E，交CD于F，连结CE、AD、DM。 （1） 求证：△CEF∽△AMD （2） 求证：  （3） 若CB=5，BD=7，CF=2FD，AM=4MF，求MF和CE的长。 分析：⑴要证明两个三角形相似，条件中没有给出线段的比例关系，因此，我们应全力寻找两个三角形中相等的角。因为这些角分置在两个不同的圆内，要将它们联系起来，唯一的办法是连结两圆的公共弦AB。因为M是  的中点，所以∠2=∠3， 又∠1=∠2，∴∠1=∠3。又∵∠4=∠3＋∠5，而∠3=∠2=∠6，∴∠4=∠6＋∠5=∠ADM。∴△CEF∽△AMD。 ⑵要求证的比例式形式复杂，一下子找不到平方关系。我们将与  成比例关系的线段找出来，然后看看能否得出求证式。∵△ECF∽△MDF，∴ ，又∵△CEF∽△AMD∴ ，∴ ，即。⑶这里数量关系错综复杂，必须进行数量关系的转化，要求MF很容易联想到圆幂定理：AF·MF=BF·FD。由已知条件知AF=3MF，还必须求出BF和FD。∵CD=CB＋BD=5＋7=12，CF=2FD，∴3FD=12，∴FD=4，CF=8，BF=3。将BF、FD代入圆幂定理的公式，得MF·3MF=3×4，∴MF=2。 要求CE的长，由⑵ ，该比例式中MF=2，AM=4MF=8，要求出CE的长，必须先求出EF的长，∵△CEF∽△ABF，∴ ，∴EF= =4，代入中，得CE=8。学会分析，实质上是学会思考，学会联想。这些正是新课程所追求的理念，有一点必须搞清楚，世界上永远找不到分析的公式，或是供你套用的分析的方法，这些都是需要通过学习、练习、感悟、反思以后才能得到的。 (责任编辑：admin) |