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一元二次方程根的判别式的综合应用 四川省武胜县中心镇小学初中部 曹建局 一、知识要点： 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0  方程有两个不等实数根.定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0 方程有两个相等实数根.定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0 方程没有实数根.2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。 定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根 Δ＞0.定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根 Δ＝0.定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根 Δ＜0.注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0. 二.根的判别式有以下应用： ① 不解一元二次方程，判断根的情况。 例1． 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0) 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4, ∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 (2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2, ∵无论b取任何关数，b2均为非负数， ∴Δ≥0， 故方程有两个实数根。 ② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0； 解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k （1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9 （2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9 （3）∵方程有两个不相等的实数根， ∴Δ<0，即36-4k<0.解得k>9 ③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。 例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 证明： Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4) =4m2-4(m4+5m2+4) =-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4) =-4(m2+2)2 ∵不论m取任何实数(m2+2)2>0, ∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0. ∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤： （1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。 ④ 应用根的判别式判断三角形的形状。 例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m>0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2  ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。 证明：整理原方程： 方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2 ax =0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2 ax =0(c+b)x2-2 ax +cm-bm=0根据题意： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=(-2 a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0 ma2-c2m+b2m=0 ∴Δ=m(a2+b2-c2)=0 又∵ m>0, ∴a2+b2-c2=0 ∴a2+b2=c2 又∵a,b,c为ΔABC的三边， ∴ΔABC为RtΔ。 ⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式 例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）; （2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）; 分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即Δ=0 解：（1）令16a2+ka+1=0 ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=k2-4×16×25=0 ∴k=+40或者-40 （2）令ka2+4a+15=0 ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ=16-4k=0 ∴k=4 ⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点 例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x＋2m只有一个公共点？ 解:列方程组  消去y并整理得x2+x-m-1=0 ，∵抛物线与直线只有一个交点，∴Δ＝0，即 4m+5=0 ∴  ( 说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。) ⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点 分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 （１）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形： ① 当  时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。 ②当 时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（ ）。 ③当  时，抛物线与x轴没有交点。例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数： （１）  （２） （３） 解：（１）Δ＝16-12=4>0 ∴抛物线与x轴有两个交点。 （２）Δ＝36-36=0 ∴抛物线与x轴只有一个公共点。 （３）Δ＝4-16=-12<0 ∴抛物线与x轴无公共点。 例8、已知抛物线  （１）当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点？ （２）当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点？并求出这个公共点的坐标。 （３）当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点？ 解：令y=0，则  Δ＝4-4(m-1)= -4m+8(1)∵抛物线与x轴有两个公共点， ∴Δ>0，即 – 4m+8>0 ∴m<2 (2)∵抛物线和x轴只有一个公共点， ∴Δ＝0，即 –4m+8=0 ∴m=2 当m=2时，方程可化为  ，解得x1=x2= -1，∴抛物线与x轴公共点坐标为（-1,0）。(3)∵抛物线与x轴没有公共点， ∴Δ<0，即 －4m+8<0， ∴m>2 ∴当m>2时，抛物线与x轴没有公共点。 ⑧ 利用根的判别式解有关抛物线  （Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题.分析:抛物线  （Δ>0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程  的两根差的绝对值。它有以下表示方法： 例9: 求当a为何值时?二次函数  图象与x轴的两个交点间的距离是3。解：令y=0，得方程  ，设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2，则 由 得 ，即 。进而得 ∴a= 或a= 。 ∴当 时，图象与x轴两个交点间的距离是3。
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