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数数格点算出面积 一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。 如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点。如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，我们又叫格点为整点。 一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。 设格点多边形的面积为S，多边形内部有N个格点，多边形边线上有 L个格点。为了寻求公式，我们从简单的图形（如图2，图3，图4）考虑起，并列成一表，探求它们之间的关系。
看过上表的前四行，我们可能感到很失望，S，N，L之间看不出有什么联系来，不过，我们在前面已经看到，当S很大时，S和N的差(相对地说)是很少的。因此，我们在表上添了一列，包含S-N，这行数字是随着L而增大的。如果用2去除L，列到最后一刻，我们立刻得到下面的有趣的关系： S－N=  －1, 即 s=n+ ＝－1。 这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。我们这里并不想对皮克定理给予严格的证明，同学们可以通过不同的格点多边形验证它的正确性。 不过，通常我们需要计算的图形，往往并不是格点多边形。因此，首先需要通过割补的办法，化为面积相近的格点多边形，然后再用皮克公式进行计算。 同学们，当你亲自算出一些图形的实际面积时，你一定会为科学的胜利而感到无限的欣慰。 (责任编辑：admin) |
