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数学思想的一大进步 ──证明 公元前7世纪的古希腊人喜欢旅行和经商，这些活动使他们接触许多数学知识。他们被数学知识吸引住，很敬畏，但又觉得不满足。他们认为，不仅应该知道有哪些数学知识，而且应该知道为什么有这些数学知识。在这种“研究为什么”的精神支配下，他们在人类历史上第一次提出了对一切数学进步起决定性作用的两个心理过程：抽象与证明。 抽象就是从不同的事物中找出共同的东西，并从中形成一般概念。例如：从苹果、梨、香蕉、葡萄中抽象出“水果”；从正午的太阳、十五的月亮、马车的轮子、茶杯的杯口中抽象出“圆”；从牛、马、猫、狗中抽象出“动物”，又从“动物”、“植物”中抽象出“生物”等。 证明则是一种从“题设”到“结论”的论证过程，并且要求论证的每一步都不出毛病。 希腊人把“题设”叫做“前提”，并把它分为两种：第一种是普遍性的“前提”，他们称之为“公理”；第二种是特殊的数学上的“前提”，他们称之为“公设”。另外，他们还设计出“归纳”、“演绎”、“反证”等思维方法和技巧。凡是能用“公理”和“公设”证明出来的命题，叫做“定理”。由“定理”必然能推导出来的命题，叫做这个定理的“推论”。 古希腊人是以几何学作为抽象与证明的舞台的。在这方面起过巨大作用的数学家有柏拉图、泰勒斯、尤多苏斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿波罗尼斯、阿基米德、埃拉托瑟尼、希巴克思、齐诺等。下面我们要向同学们特别介绍一下几何大师欧几里得的情况。 欧几里得（约公元前330—275年）是亚历山大里亚的学者，早年曾在柏拉图创设的学院里学过数学。他本人不是一生伟大的革新家，但却是希腊的几何黄金时代出现的名人泰勒斯、尤多苏斯等人所取得的数学成果的杰出组织者。他极善于把前人的证明用更简洁、更明确的话加以改写。经过这详简化以后，均被收人其杰作《几何原本》里。这部书共13卷，它叙述并证明了一大批人类所知道的有关点、线、圆以及简单立体的知识。所有这些信息都是从以下5个公理、5个公设即一共10个简单的“前提”，用最能增进思考能力的逻辑推理方法得出的： 公理1 等于同量的量相等。 公理2 等量加上等量，和相等。 公理3 等量减去等量，差相等。 公理4 能够重合的量相等。 公理5 全量大于它的部分。 公设1 经过两点可以连结一条直线。 公设2 有限线段可以无限延长。 公设3 以任意点为圆心，任意有限线段为半径，可以作一个圆。 公设4 直角都相等。 公设5 给定一条直线与不在这条直线上的任意一点，经过此点只有一条直线平行于给定直线。 从这些“前提”出发，欧几里得不仅建立了我们目前在中学学习的几何学的主要内容，而且还构造了许多其他的数学题材。 《几何原本》把许多世代的创造精神熔于一炉，成了一部好书。它明白无遗，风格独特，有些学者认为它是人类写出来的逻辑推理中最为简明紧凑的精品。在古代，这部书曾以手稿形式广为流传。自从印刷术发明以来，数以千计的版本在全世界刊行。在整个西方世界，除了《圣经》以外，它是流传最广、影响最深、版本最多的著作。直到今天，它的主要内容仍然是世界上很多中学生都要学习时的。 这部书于13世纪传到中国，先成为元朝秘书监的藏节。1607年明朝学者徐光启等人将前半部由拉丁文版译成中文。过了240余年，清朝数学家李善兰等人又将其余部分从英文版译成中文，干1856年完成至此，中国人才看到它的全貌。 从今天的科学眼光看来，《几何原本》一书虽然存在某些缺陷，但它宏伟的结构、精巧的安排、严密的叙述和迷人的结论，实在是无可比拟的科学著作。历史上的许多自然科学巨人，如笛卡尔、牛顿、爱因斯坦，都说过自己得益于这部书的熏陶。一代又一代的中学生从其中吸取到智慧和力量，从而对科学作出了新的贡献。 (责任编辑：admin) |