对称性的启示 在具有对称性的平面图形中,圆这个最简单的曲线最令人惊叹。它是唯一具有无穷多条对称轴的轴对称图形,它又是特殊的中心对称图形,同学们都知道,中心对称图形绕其对称中心旋转180度后所得到的图形跟原图形重合,而将圆绕其中心旋转任意一个角度后所得的图形跟原图形重合,这是圆的独特性质。怪不得圆被称为最完美的曲线。 同学们也许见过这样一道智力游戏题:设有数量足够多的各种面值的硬币,让两个人轮流的在圆形桌面上摆硬币,每次摆一个,个个不能互相重叠,也不能有一部分落在桌面的边缘意外。这样,经过充分多次以后,谁先摆不下硬币就算输。试证:先摆的人有办法使对方一定输。 先摆的人为什么能稳操胜券呢?就因为圆形桌面是中心对称图形!“先手”只要把第一个硬币摆在桌面的中心,以后不管“后手”把硬币摆在哪里,“先手”总可以把相同面值的硬币摆在与“后手”所摆硬币(关于中心)对称的地方。这样,只要“后手”有地方摆的下“先手”也总可以摆得下。因此“后手”准输。 这里仅仅利用了圆的中心对称性质。因此,本题中把圆形桌面改成矩形桌面、椭圆形桌面或其他具有中心对称性的图形的桌面,问题的结论仍然不变。 同学们大概不会不知道著名的中国“太极图”(图1)吧!实际上,它是把一个圆分成阴阳两个部分而成的,因而具有“阴”和“阳”对立统一的深刻含义。 ![]() 图2使用以说明太极图画法的:在一个大圆内以其半径为直径,做两个相外切且都内切于大圆的小圆,然后擦掉虚线所示的两个半圆,就画成一个太极图。 面对着我们这个国粹,试想想:能够引一条直线把太极图上阴阳两个部分的面积都平分吗? 这个问题的解也跟对称性有关。为了叙述的方便,我们以大圆中心O为原点,两小圆的连心线 ![]() ![]() 古往今来,优美的对称性曾激起无数科学探索者创造性的灵感。同学们在学习数学中也能经常体验到对称思想的启示。因而,再有对称轴的图形中,给出对称轴一侧的图形,你就应该能够想象出另一侧的图形。果能如此,诸如下面这样的问题是不难解决的:在直线L的同侧有两个圆⊙ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 但是,这是我们只知道光线经过点 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 最后一个问题的解法是:作点 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 受对称性的启示,中间那个问题(由同学们自行完成)乃至于原问题也就不难解决了。 原问题解法如下:作⊙ ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |