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从商高定理到费马大定理 山东汶上县职业中专 张兵 勾股定理在初中平面几何课本中就学习过，其内容如下：“在直角三角形中，斜边（弦）的平方等于两直角边（短者叫勾，长者叫股）平方的和”。 对这一定理的研究，我国古代数学家作出了巨大的贡献。约在公元前100年成书的我国现存最古的一部数学典籍《周髀算经》中记载，在公元前1100多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了“勾广三，股修四，弦隅五”，且在同一书中记载的荣方与陈子的问答中，更谈到由勾股求弦的一般方法是“勾股各自乘，并而开方除之”，可见已给出了普遍的勾股定理。正因为商高首先提出了勾股定理，不少人把该定理称之为商高定理。 在商高定理的研究方面作出贡献的除中国古代数学家外，还有许多别的国家和民族的数学家，特别是古希腊、埃及、印度的数学家。公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯（公元前582年一前497年）是西方第一个证明勾股定理的人，国外常称其为毕达哥拉斯定理，相传当毕氏找到证明商高定理的方法后，欣喜若狂，杀了100头牛祭奉庆贺，故西方人亦称之为“百牛定理”，而毕氏的证明早已失传。古今中外有许多人探索商高定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多，这在数学史上是十分罕见的。 我国古代数学家商高发现了直角三角形勾、股、弦有3、4、5的关系，故人们称满足勾股弦的各组正整数为商高数。若以方程的观点来看，方程  的正整数解称为商高数。商高数除3、4、5外，还有5，12，13；7，24，25；8，15，17；12，35，37；20，21，29等无穷多组。求方程  的整数解实际上是个不定方程问题。关于不定方程的研究我国最早，约在公元50年（东汉初年）成书的数学名著《九章算术》中出现了世界上最早的不定方程问题（“五家共井”问题），且该书给出了多组商高数。我国第三世纪数学家刘徽曾为《九章算术》作注（公元263年），明确给出了商高数的一般公式。古希腊数学家丢番图（公元246年一330年）研究了整系数不定方程的整数解（这类问题被称为丢番图方程），以著作《算术》名世，记述了189个不定方程问题。不定方程 的全部原始解（两两互素的解）的公式是a=2mn,  , 。其中m，n（m＞n）是互素的且一奇一偶的任意正整数。其实丢番图没有给出这个公式，中国的刘徽在《九章算术》注中用文字表述了这个公式，并作图加以证明（图已失传，图的说明传下来了），这也是我国古代数学家的一大成就。 相隔1400多年，约公元1637年，费马（公元1601—1665）在丢番图的校注本《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分为两个平方数”旁的空白处，写了一段批语：“把一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地，把一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的，关于这一点，我已发现了一种巧妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。费马，法国人，律师，业余钻研数学，很少发表作品，一些数学成果常写在给朋友的信中或所读书的空白处，由后人收集整理出版。费马去世后，他儿子在整理他的遗物时发现了这段话，并于1670年公布于众。这就是引起世人关注的费马大定理，可表述为“当整数n＞2时，方程 从费马时代起，人们不断进行费马大定理的试证工作。巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金，布鲁塞尔科学院也悬赏重金，奖励证明该定理的人，但都无结果。1908年哥廷根皇家科学会悬赏十万马克，奖给最先证明这一定理的人，赏期100年。最初的证明是一个数一个数（或一部分数）的进行，但也不是那么简单的工作，不知多少人耗尽了无数心血，取得了一些成果。如高斯、欧拉、莱布尼茨、勒让德、狄里克雷、拉梅、库默尔等许多著名数学家都作出了突出的贡献。但都只是在某些特定条件下证明了这个定理，无疑离定理的证明还比较遥远。人们曾经在费马的遗稿、笔记、传抄本，甚至其它任何可能的地方，去寻找他的证明方法，但都落空了。这的确是个“谜”，人们不得不怀疑，费马是不是证明过这个定理，还 是在什么地方弄错了。 直接证明费马大定理的艰巨困境促使人们按数学解决问题的传统，就是要作变换，把问题转化为已知的或易于解决的领域的新问题去解决。近三个多世纪来，经过包括黎曼、莫德尔等许多数学家艰苦卓绝、前赴后续的工作，把费马大定理与代数曲线上的有理点（坐标都是有理数的点）联系起来。种种转化推动了数学相关领域的发展，也推动了费马大定理的证明进程。英国年轻的数学家维尔斯（A·WIles．1953一）利用19世纪以来研究并发展起来的椭圆函数理论及其研究成果，最终证明了费马大定理。1993年6月维尔斯长达200页的论文评审时，被发现其证明有漏洞，1993年7月他开始修改论文，补正漏洞，1994年9月维尔斯终于克服困难，重写了一篇108页的证明论文，10月寄往美国《数学年刊》，顺利通过审查，1995年5月《数学年刊》的41卷第3期上只登载了他的这一篇论文。维尔斯因此获得了国际上颇有影响的科学奖──1995／1996年度沃尔夫数学奖，这一成果被认为是“20世 纪最重大的数学成就”。 历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。 参考文献 （1）王文方，施桂芬《数字小辞典》1983，科学技术文献出版社。 （2）高希尧《数海钩沉》1982，陕西科学技术出版社。 （3）王长烈，朱一鸣《世界数字名题趣题选》1988，湖南教育出版社。 （4）孙宏安《费马大定理及其证明》1997，6《数学通报》。 选自《中学生数学》2001年10月下 (责任编辑：admin) |