探讨常见最短路程问题
甘肃省白银市六中 张顺智
最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。
一、求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案
例1 为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A水厂向B、C供水站供水。已知A、B、C之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。
解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。
（1） 可设计AB+AC路径；
（2） 可设计AD+BD+CD路径；
（3） 可设计AE+EB+EC路径。
通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）
二、求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计
例2．为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A、B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。
解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。
应用：已知三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分别为AB、AC上两点，
求BN＋MN＋MC的最小值。
三、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计
例3．已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。
解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？
关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。而且,也很富有技巧性.在此讨论几个问题,仅供参考。
四、在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程
例4．已知在圆柱的点A有一只蚂蚁，沿表面爬行要吃到放在B点的食物，在此过程中，蚂蚁如何爬行才能使爬行路程最短，
解析：将圆柱侧面展成长方形可求出最短路程为
B
A
应用：如果圆柱的底面半径为r，高为h圆柱的下底面A点有一蜘蛛,爬行到上底面与A点相对应的B点处。则最短路程为多少。
五、在长方体（正方体）中，求最短路程
例5．在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c.则最短路程为多少.
解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：
（1） 将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：s1=
（2） 将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为：s2=
（3） 将上表面展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为：s3=
然后比较s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程.
应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点C1处。蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在最短的时间内捉住苍蝇？
六、在圆锥中，求最短路径问题
例6．在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从A点出发，在其表面绕一周又回到A点，如果绕行所走的路程最短，画出设计方案图。
解析：将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案
应用：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发， 绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式） 
路程最短问题在中学教学中是个难点，本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题，用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。从中望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想。学会“转化的思想”的解决问题的方法，今后我们在数学教学与解决数学问题时，也应从这些方面去考虑，找出问题的实质，达到解决问题的目的。充分去体会数学中的有趣知识，从兴趣出发学到有用的数学。
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