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巧虎探秘切线长定理隧道 山东沂源县徐家庄中学 左效平 巧虎的爱好是探险．听说切线山上有一个切线长定理隧道，巧虎决定只身前往探个究竟．同学们你是不是也很好奇啊？让我们一起追随巧虎，走进隧道看看有哪些险境吧！ 巧虎走进切线长定理隧道，被精彩的概念所吸引，于是巧虎来到概念面前，静下心来细细咀嚼起这些概念来． 一、概念层层尽染隧道口 第一景：点与圆生成切线长──切线长定理的基本图形 如图1所示，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是A，B，则PA=PB，且∠APO=∠BPO． 这个定理可以引申如下结论： 三角形PAB 是等腰三角形，且OP垂直平分AB．希望同学们能够记住．  第二景：三角形与圆生成切线长 如图2所示，⊙I是三角形ABC 的内切圆，切点分别是D，E，F，则AD=AF，BD=BE，CE=CF． 如图3所示，当三角形ABC是等腰三角形时，点A ，I，E三点共线．  第三景：四边形与圆生成切线长 如图4所示，⊙I是四边形ABCD的内切圆，则AB+CD=AD+BC  二、点将训练场 第一供应点：点，圆中探求角大小 例1 （2010哈尔滨）如图5，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（ ） A.60° B.90° C.120° D.150°  分析：根据切线的性质，知道∠PAO=∠PBO=90°，所以∠AOB+∠P＝180°.因为∠P＝60°,所以∠AOB=120°．解：选择C． 例2 如图6， 若AB、AC分别切⊙O于B、C，延长OB到D使BD＝OB，连AD，如果∠DAC＝78°，则∠ADO＝（ ）A.56° B.3９° C.6４° D.78°  分析：根据切线长定理，知道∠BAO=∠CAO．因为AB切⊙O于B，所以∠ABO=∠ABD=90°．因为BD＝OB，AB=AB，所以△ABO≌△ABD，所以∠BAO=∠BAD，所以∠BAD=  ∠DAC=26°，所以∠ADO＝90°-26°=6４°．解：选C．第二供应点：三角形，圆中探求线段 1.一般三角形 例3 ⊙O内切于△ABC，切点分别是D、E、F，若AB=5，BC=6，AC=4．则BD=_____． A 1.5 B 2.5 C 3.5 D 3 分析： 如图2所示，根据切线长定理，得到：AD=AF， BD=BE， CE=CF． 设AD=AF=x， BD=BE=y， CE=CF=z，BC=a，AC=b，AB=c， 则  ，解得AD=AF= ， BD=BE= ， CE=CF= ，所以BD=BE= = =3.5．解：选C．点评： 请同学们熟记上面的三个小结论，对你解题一定会有很大的帮助的． 2.等边三角形 例4 （2010年兰州）如图7，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ） A 2 B 3 C  D．2  分析： 当三角形是等边三角形时，三角形的内心与外心是重合的，所以OA是外接圆的半径，OD是内切圆的半径，且点D是边AB的中点，所以OD=1, ∠OAD＝30°.在直角三角形AOD 中， tan30°=  ，所以AD=，所以AB=2AD=2.解：选D．点评： 设等边三角形的外接圆半径为R，内切圆的半径为r，边长为a， 则r：R：a=1：2：2 ．希望同学们能熟记这个结论．3.直角三角形 例5 如图9所示，直角三角形ABC中，∠C=90°AB，BC，CA的长分别是c，a，b，求三角形ABC 内切圆的半径r．  分析： 此题是例3的一种特殊化，是把一般三角形变成了直角三角形．我们易证四边形IECF是正方形，所以z就等于内切圆的半径r，所以r= ．解：略． 引申： 内切圆的半径为r=  ．解：因为∠C=90°AB，BC，CA的长分别是c，a，b，所以直角三角形的周长是a+b+c，  = ×BC×AC=ab．所以ab=r（a+b+c），所以内切圆的半径为r=．第三供应点：等腰梯形，圆中探求线段 如图10，当四边形ABCD是等腰梯形时，我们会发现，它具有很多有趣的结论，下面我们就一一道来： 结论1：圆的外切等腰梯形的两底之和等于腰长的2倍． 简证：因为AB+CD=AD+BC，且AD=BC，所以AB+CD=2AD． 结论2：圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 简证：设梯形的中位线为EF，因为AB+CD=AD+BC，且AD=BC，所以AB+CD=2AD． 因为AB+CD=2EF，所以AD=EF． 结论3：圆的外切等腰梯形的周长等于腰长的4倍． 简证：因为AB+CD=AD+BC，且AD=BC，所以AB+CD +AD+BC =2AD+2AD=4AD． 结论4：圆的外切等腰梯形的周长等于中位线的4倍． 简证：中位线等于腰长，所以结论是成立的． 结论5：切点G，E分别是CD，AB的中点． 简证：如图11，连接ID，IG，IC，则ID平分∠GDH，所以∠IDG= ∠GDH ．同理可证∠ICG=∠GCF．因为梯形ABCD是等腰梯形，所以∠GDH=∠GCF，所以∠IDG=∠ICG．因为IG⊥DC，所以∠IGD=∠IGC．因为IG=IG，所以△IGD≌△IGC，所以GD=GC，即点G是CD的中点．同理可证点E是AB的中点． 结论6：圆的外切等腰梯形两底的积等于内切圆半径平方的4倍． 简证：如图12所示，连接ID，IH，IA，则ID平分∠GDH，所以∠IDH= ∠GDH ．同理可证∠IAH=∠DAB．因为AB∥CD，所以∠GDH+∠DAB=180°，所以∠IDH+∠IAH=90°，所以∠AID=90°． 因为IH⊥AD，所以∠IHD=90°．所以△IDH∽△AIH，所以  ，所以 ．因为DH=DG= CD，AH=AE=AB，所以AB×CD=4 ．   怎么样，这些结论你喜欢吗？当你熟记后，下面的小题你就会轻松拿下，试一试吧！ （1）一个等腰梯形的四条边都与一个圆相切，已知梯形的腰长为6cm，那么这个梯形的中位线长为（ ） A、7cm B、6cm C、5.5cm D、5cm （2）圆的外切等腰梯形周长为48cm，则它的腰长为（ ） A、24cm B、12cm C、8cm D、6cm （3）圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，则等腰梯形ABCD的周长是（ ） A、15cm B、20cm C、30cm D、60cm （4）四边形ABCD是⊙O的外切等腰梯形，若上底CD=4cm，圆的半径是3cm， 则腰长为 ． 参考答案： 1 B 2 B 3 D 4 6.5 第四供应点：正方形，圆中探求线段 例6 如图13，正方形ABCD的边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，再过A点作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点．求：△ADE的面积．  分析： 要想求出三角形的面积，只要求出线段DE的长度即可．这里有两个关键点要注意，一个是BAF型切线长定理图，一个是CEF型切线长定理图． 解：因为AB，AF是圆O的切线，所以AB=AF．因为CE，EF是圆的切线，所以EF=EC． 设EF=EC=x，则AE=AF+EF=4+x，DE=CD-CE=4-x， 在直角三角形ADE中，  ，所以 ，解得：x=1，所以DE=CD-CE=4-x=3，所以三角形ADE的面积是：  ．第五供应点：三角形，圆中探求面积 例7 三角形ABC的内切圆半径为r，三角形ABC的周长为  ，求三角形ABC 的面积．分析： 求三角形面积的关键是利用内心的特点，巧妙分割三角形，采取化整为零的战术． 解： 如图14所示，设三角形内切圆的圆心为I，圆I与边AB，BC，CA的切点分别是D，E，F．连接IA，IB，IC ，ID ，IE，IF，因为D，E，F分别是切点，所以ID⊥IA，IE⊥IB，IF⊥IC，所以  = =×r×AB， = =×r×BC， = =×r×AC．因为=++，所以 =×r×AB+×r×BC +×r×AC=r（AB+BC+CA）=r． 巧虎经历了这次探险，更加激发了他学习数学热情，他决心要把数学学好，立志长大成为一名数学家． 作者简介：左效平，中学数学高级教师，山东省沂源县徐家庄中心学校副校长，擅长解题方法的探究和学法指导的归纳总结，在《中学生数理化》《中学数学杂志》《数学周报》《数理报》《数理天地》《中学生》等杂志，报刊刊发论文近百篇，在“希望杯”数学竞赛中获得命题奖二等奖，沂源县数学中心教研组成员。 (责任编辑：admin) |