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哪种投票制度最合理？ Blockvotia的国民议会刚统计完了对Palmgreasing Slushfund议案的投票情况，总统Freebie Perks满脸的不高兴。他的私人秘书Penelope Poundpincher施展浑身解数拼命安慰他。 “Penny,你曾告诉我6个地区中有4个地区（包括最大的那个地区）支持此议案。那我们怎么输了呢？” “这是由于加权投票制度的缘故，先生。你知道，每个地区孝分配了与其人口数大致成比例的一定票数。这是说明详细分配情况的一张表（见图1）。总的票数为31。因此，任何一个拥有16张票（即比总票数的一半多一张票）的联盟将能够左右选举的结果。  Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群岛对议案投了赞成票。我已经说过，这正好是6个地区中的4个，而且包括了最大的一个。且它们合起来仅有15票，而反对议案的两个地区却有16票。” “总统选举下个月就要进行，我不希望这一情况重演。如果我们让边界委员会给Sheepshire加一票，而使Candlewick减一票——” Penny把头摇得像拨浪鼓。“我不主张这样做，先生。Richfolk和Candkewick这两个区都赞成你连任。Sheepshire犹豫不决，而另外三个地区则反对你连任。Richfolk和Candlewick可以挫败另外4个区组成的联盟，但如果你从这两个区中任一个区减去一票的话，那情况就不同了。” 这时有人敲门。Porkney群岛的代表Charlie Hogg冲了进来。“总统先生，这场滑稽戏不能再继续演下去了！” “什么滑稽戏？” “你所谓的民主投票制度，Porkney群岛毫无权力。 “但你们拥有一票，这是与你们的人口成比例的。Slurrey的人口比你们还多，也只有一票。你们拥有的权力实际上比Slurrey还多。” “不对。任何投票的结果都完全被三个最大的地区所左右。这三个地区至少有两个将投相同的票，而它们合起来的票数至少同Richfolk和Candlewick（分别是第二大和第三大的地区）拥有的总票数一样多。这就有了16票，居于多数地位。在任何一次投票中，即使3个最小的地区一票也不投，也会得到相同的结果！” “我明白了。但我能把它怎么样呢？” “再给我们一票！这样至少3个最小的地区就可以同Sheepshire联合起来打出一个平局。如果你再给Slurrey也加一票，那么我们就可以结成一个获胜的联盟了（见图1）。” “我明白你的意思。这样总票数就是33”，Penny说。“这样有17票或17票以上就可以得胜。Fiddlesex,Slurrey,Porkney群岛和Sheepshire结成联盟，能够赢得投票。” “不错！三个最小的地区中的任何一个才能够改变投票的结果——它们将拥有力量均势！” 这时边界委员会的联络官Gerry Mander走了进来。Perks问他：“Gerry，边界委员会能否重新划定各区的边界，使Slurrey和Porkney群岛各多得一票？” Cerry Mander摇了摇头。“Slurrey区还可想点办法。但Porkney是群岛就不好办了。” Hogg咆哮起来：“我的选民们会不高兴的。” 总统叽咕着说：“是会不高兴。不过，正如你说的那样，这没有什么用，因为你的地区毫无权力。我看你最好不要发出无法兑现的威胁，Hogg。” “单是三个选区就可以把你赶下台，这种情况也不会使你感到舒服。你必定能够想点什么办法。” “我可以再给Sheepshire两票。能办到吗，Gerry？” “没问题。区界沿着Wastedump河弯弯曲曲地延伸。我们很容易把它改合理一些。”。 “但是给最大的地区再加几票不可能帮助最小的地区获得一份权力呀！”Hogg伤心地叫道。 Perks说：“恰恰相反，如果Sheepshire再多两票的话，你就会得到一份权力（见图1的右图）。” “不错”，Penny边说边看着这些数字，“这同一个联盟共拥有33票中的17票；依然是最小的三个地区中的每一个都可以声称自己掌握着力量均势。” “这真是妙极了”，Hogg说，“你给了Sheepshire更多的权力，其中部分权力却鬼使神差般地影响到我们。” “不，Hogg。我们并没有给Sheepshire更多的权力——我们只是给他们更多的选票”，Penny吸了一口气说，“正如你说的那样，权力和选票并不是一回事。” “怎么会是这样？”Perks问道，“如果权力不是选票，那它是什么？我需要知道这一点。权力赢得选举。” “我认为你需要Banzhaf权力指数，先生”，Penny说，“John F.Banzhaf是乔治敦大学的一位法律专家。1965年他提出了在加权投票体制中衡量代表所拥有的权力的一种方法。他的设想是，一位代表可以通过加入一个看来要输掉的联盟使其转败为胜。或者背弃一个看来要获胜的联盟使其转胜为败而显示其权力。” “这不是同一回事吗？” “是同一回事，先生。如果你加入一个联盟，你同时也就背弃了由其他所有人组成的另一个联盟。所以我们只需要考虑一种情况就够了——比如说考虑建立一个获胜的联盟。假定某一位代表在联盟中起着关键性的作用：有了她则联盟赢得投票，失去她则联盟输掉投票。任何一位代表的Banzhaf权力指数就是她在其中恰好起着这样一种作用的联盟的数目。” “我们原先的投票体制是一个（16；10，9，7，3，1，1）体制。获得多数所需的票数为16票。各人代表的加权为10，9，7，3，1和1。Porkney仅能在恰好有16票的联盟中起着关键作用。如果这种联盟有更多选票，那么Porkney是否背弃它对投票结果不会有任何影响。如果其票数少于16票，则它就不是一个获胜联盟了。但是Porkney所属的任何一个联盟其选票总数均不等于16票，因此Porkney的权力指数为零。按照总统提出的新方案，我们将有一个（17；12，9，7，3，1，1）投票体制。Porkney在其所属的任何一个恰好有17票的联盟中起着关键作用。这种联盟正好有一个，即由Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney组成的联盟。因此，Porkney的权力指数为2。” “那么Sheepshire的权力指数为多少？”Perks问。 “Sheepshire有12票，因此它在它加入的任何一个拥有17票到28票（即17－1＋12票），的联盟中起着关键作用。你可以通过试错法列出这些联盟（见图2）。这种联盟共有18个，因此Sheepshire的权力指数为18。” Hogg叫了起来：“Sheepshire的人口是我们的人口的12倍，可他们的权力却只有我们的权力的9倍。” Gerry问道：“有没有比试错法更好的计算权力指数的方法呢？” Penny说：“嗯，对于大的投票体系，最好的办法是使用计算机。不过，对于小的投票体系（比如我们这一个），有一种巧妙的图解法。假定此体系是（3；2，1，1），这就是说，有三位投票人：A，B和C。A有两票，B和C各有一票，且3票构成多数。” “首先画出一个显示出所有可能的联盟的点阵图；如果这些联盟仅相关一个成员，则把它们用一条边联接起来。在每条边上标以非两个联盟所共有的那个成员。然后标出每一条关键的边——也说是总票数从低于多数票变成等于多数票或高于多数票的那些边。任何一位成员的权力指数就是其上标有它的名字的那些边的数目。在这个例子中，A出现在3条关键边上，因此它的权力指数为3；B和C则各出现在一条关键边上，因此其权力指数均为1。这个点阵图是个立方体。对于更大的系统，你也可以画出点阵图，但是看起来就有点零乱了。不过四个成员的点阵图还是有点漂亮的（见图3）。”  Hogg说：“我希望的是每个成员拥有的权力指数大致同其人口成比例。” “这可不那么容易办到”，Penny说，“让我向你说明纽约州汤普金斯县议会1982年是如何做到这一点的。权力指数几乎正好与人口成比例（见图2）。”  “我们也可试试看”，Hogg提议说。 “或许可以吧”，总统慢条斯理地说，“你对美国总统的权力指数作过研究吗，Penny？” “是的，先生。美国总统的权力指数为一位参议员的权力指数的40倍，为一位众议员的权力指数的175倍。” “这听起来很不错。” “不过美国立法机构作为一个总体，其权力大约为总统的权力的两倍半。” Freebie Perks盯着她有片刻，然后无所畏惧地正视着Hogg说：“我想我们会坚持现行的制度。” 纽约州汤普金斯县议会（1982年）
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