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巧用“A”字形的性质解题 湖北省黄石市下陆中学 周国强 如图1，E、F分别是∠AOB两边上的点，连接EF．我们不妨把这个图形称为“A”字型．“A”字型图形有一条重要性质：∠AEF+∠BFE＝180  ＋∠O． 简证：因为∠AEF+∠BFE＝180 ×2－（∠OEF+∠OFE）＝180×2－（180－∠O）＝180＋∠O，所以∠AEF+∠BFE＝180＋∠O．某些问题，运用这条性质来解，方便简捷．请看几例： 例1 求证直角三角形两个锐角的外角平分线的夹角等于45 ．即：如图2，Rt  ABC中，∠C＝90，∠A、∠B的外角的平分线AF、BF相交于F．求证∠F＝45． 简证：由“A”字型的性质，知∠EAB+∠DBA＝180 ＋90＝270，又∠A、∠B的外角的平分线AF、BF相交于F，所以∠F＝180－ ＝45．例2 求证五角星五个角的和等于180 ． 简证：如图3，因为∠1+∠5＝180 +∠A，∠1+∠2＝180 +∠B，∠2+∠3＝180 +∠C，∠3+∠4＝180 +∠D，∠4+∠5＝180 +∠E，所以2（∠1+∠2+∠3+∠4+∠5）＝180 ×5+（∠A+∠B+∠C+∠D+∠E），又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（5－2）×180 ＝540，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝2×540 －180×5＝180，问题得证．例3 如图4，多边形ABCDEF．．．K，∠A＝120 ，截去∠A后，剩余各角的和为（不含∠BMN和∠KNM）1860，求多边形多边形ABCDEF．．．K的边数． 简解：由“A”字型的性质，知∠BMN+∠KNM＝180 +120＝300，截去∠A后的多边形MBCDEF．．．N的内角和为1860+300＝2160，由多边形的内角和公式，知多边形MBCDEF．．．N的边数为14，从而多边形ABCDEF．．．K的边数为14－1＝13．例4 如图5，AB、CD是经过圆心O的两条弦，半径OE平分∠BOD，若∠BOF+∠OFE＝220 ，求扇形OAD与扇形ODE的面积之比． 简解：由“A”字型的性质，知180 +∠A＝220，所以∠A＝40，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，知∠BOE＝80，从而∠DOE＝80，所以∠AOD＝180－80×2＝20，故扇形OAD与扇形ODE的面积之比＝∠AOD：∠DOE＝20：80＝1：4．
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